Hola a todos. Quería proponer algunas maneras para deducir el término general de una sucesión definida recursivamente. Si bien suelen aparecer en los parciales, no es común en la práctica calcular algunos términos generales. Por eso, propongo los siguientes ejemplos y una técnica para resolver cada uno en particular.
EJEMPLO1: uso de desarrollos en base d

















EJEMPLO2: uso de congruencias




















EJEMPLO3: otros números conocidos y factorizacion






























Estos son algunos ejemplos que saque de algunos parciales. Pienso poner más. Espero que les sirvan.

Mira vos, nunca los habia visto esos... viste lo de la formula cerrada de la sumatoria del factorial que postie?

Si, vi la fórmula; aparecía e, números complejos y la función gamma...
Era una locura esa expresión. Menos mal que avisaste

Ahora voy a continuar con 1ejemplo más; es un ejercicio que tomaron en un final de álgebra. Acá propongo otra estrategia.

EJEMPLO4: factorización y subsucesiones.
A veces el término general parece comportarse caóticamente. Sin embargo, a veces el comportamiento del mismo se ve mejor en alguna subsucesión dada, como los pares, impares, múltiplos de k, etc...









































Noten que fue práctico evaluar más valores de la sucesión. En realidad, pudo haberse predecido el patrón mucho antes, pero cuando el crecimiento de la sucesión no es tan rápido(si bien es exponencial en este caso, pero de base 2), a veces a uno lo ayuda mucho ver más términos. Finalmente, se usó la factorización por primos de nuevo, y el hecho que se ''veía más'' lo que pasaba en los impares. Por eso es bueno a veces separar lo valores que se obtienen.
Espero que les haya servido.

Bueno, aca vienen dos ejemplos más. El primero utiliza la idea de las ''sumas telescópicas''. El segundo se resuelve... bueno, más adelante.

EJEMPLO5: uso de la ''suma telescópica''





Probar este enunciado no es muy difícil; hacer inducción en n y listo. Veamos que esta proposición permite hallar el término general de algunas sucesiones definidas recursivamente:


















Esto finaliza el ejemplo ejemplo5. Ahora, voy a poner el ejemplo6, cuya resolución voy a postear un poco más adelante. Por favor, aquellos que lo lean, traten de sacar un término general para ver que es lo que pasa, y si lo resuelven y quieren, postéenlo. Ahora lo dejo enunciado:

EJEMPLO6:




El término general debe valer para todo n, incluido el término ''0''. Fíjense qué pasa, cuando evalúan los primeros valores... y traten de conjeturar una fórmula cerrada.

Intente un buen rato, pero no pude sacarlo, ahora sigo intentando, pero antes, un detalle nomas.. en la definicion de te falto multiplicar al 3 por n.

Ahí lo arreglé. Gracias. No te preocupes si cuesta hallar el término... seguí intentando, pero te aviso que no es fácil

Mmmmmmmmmm...
Seguro q esta bien copiado el problema?
Porq ante la frustracion de no poder sacarlo (y aparte porq consegui este re programa =D ), decidi mandar al programa a resolver el problema y su respuesta fue :



y si le ponia como condicion P(1) = 2 (aparte del P(0) = 1 del problema), me tiraba que no habia soluciones.
Chequie el programa con otras recursiones que posteaste mas arriba y las resolvio perfectamente.. Nose, por ahi me equivooc en la forma de usar el programa, igual fijate si esta todo bien el enunciado
nos vemo!

Mirá bien la fórmula que pusite, porque no está definido el (el módulo es mayor que 1). En cuanto al término general... te aviso que no es casual la aparición del ni tampoco es casual el . Y lo chequé, y está bien copiado. Fijate eso de la fórmula(y fijate esos números que aparecen que no son casuales... de hecho, diste una pista MUY IMPORTANTE de como es el término general.)

Si, habia notado el problema con el ArcCos, por eso el programa lo dejo expresado asi... buen, sigo intentando entonces, si me decis q esta bien =)

Comentario medio descolgado: El Arccos se generaliza a una función compleja. En los complejos, el coseno es sobreyectivo (:O), es decir, toma cualquier valor complejo que les guste (ejercicio 2# de la práctica 1 de complejo...), así que ese arccos tiene sentido como número imaginario.

Gracias por el dato.
Entonces la expresión de Nico podría tener sentido... pero habría que probar por inducción que vale, y no lo veo tan agradable(ahora viendo la aparición de complejos), conociendo sobretodo el término general.

jajaja yo me quede re colgado, me mintieron toda la vida diciendome que el seno y el coseno iban de -1 a 1 !

Acá pongo la resolución del ejercicio planteado. Pongo nuevamente el enunciado, y lo resuelvo(no eleven exponencialmente sus insultos al ver la resolución...)




Espero que los haya convencido la demostración, que no era muy complicada, solo era difícil escribirlo. Saludos

(($%&$%&$)!)! (factorize mis insultos al no poderlos exponenciarlos)
jajaja jamas hubiera caido en que era parte de la sucesion de Fibonacci..
Ya se me va a ocurrir una de estas bien bien complicada.....