BUENO ,aca subo mi apunte de Algebra con todas las propiedades,o casi todas,si falta alguna sepan disculpar,pero por lo menos este es el apunte que yo hice para mí mismo y que me acompañó durante toda la etapa de finales, igual obviamente sirve para la etapa de parciales porq tiene lo de toda la materia...
Espero que sirva,se entienda y no aburra
.Sea A un conjunto, P(A) es otro conjunto cuyos elementos son todos los subconjunos de A. Ej: A={1,2}
P(A)={,{1,2},{1},{2}}
.La cantidad de elementos de un P(A) es , donde n es la cantidad de elementos del conjunto A original. (tambien es )
.A,B dos conjuntos., una relación R es un subconjunto de AxB.
.Definimos que como si:
, a~a (Reflexiva)
, a~b b~a (Simétrica)
a~b b~c a~c (Transitiva)
.Definimos que como si:
, a~a (Reflexiva)
Si a~b b~a a=b (Antisimétrica)
a~b b~c a~c (Transitiva)
.Decimos que R es Arreflexiva si ,
.Llamamos clase de a a: :{/x~a}
entonces si b~a
.Decimos que R es una si R es arreflexiva y transitiva
.Una Partición de un conjunto A está dada por subconjuntos no vacíos de A, 2 a 2 disjuntos, cuya unión dá A.
Ej: A={1,2,3,4,5,6}
.Es = dar una Partición que dar una Relación de Equivalencia en A
.Para todo conjunto hay AL MENOS 2 clases de equivalencia.
.Dados A y una relación de equivalencia R, se llama Conjunto de Representantes a la elección de un elemento en cada clase de equivalencia.
Sea una funcion A-->B
. Función Suryectiva: una función es Suryectiva si , tal que f(a)= b (si todo elemento de B es imágen de alguien)
. Función Inyectiva: una función es Inyectiva si dados ,
. Función Biyectiva: una función es biyectiva si cumple que es Inyectiva y Suryectiva. Y si una función es biyectiva, es posible definir (la función inversa de f)
. Funciones de {1...n},{1...m} son funciones porque son n elecciones independientes de m elementos
. Funciones biyectivas de un conjunto con n elementos , son n!
. =
.Suma de los primeros n impares:
. # Términos en una sumatoria de una sola variable simple (lo pongo con un ejemplo) : = (96 -0)+1 = 97
. Suma de todos los naturales: .=
.=
.Suma de divisores positivos de un número: ejemplo: La suma de los divisores positivos de =
=
.Combinatorio (no importa el órden) =
. =
. + =
.Variaciones (importa el órden) =
.#{subconjuntos de k elementos en un conjunto de n elementos} =
. Bosones: = k= número de bolitas n= número de cajas
. Coeficiente multinomial: C(n,n1,n2,...nk)= =
. (Transitividad)
.
.
. ___
.
.
.
.
. y
.
.Todo tiene al menos 2 divisores (1 y -1)
. se dice primo si tiene exactmente 4 divisores
.Si primo positivo tq
.Si a es compuesto primo tal que
. tales que
con
. si a = b.q+r
Propiedades de los restos:
.Ra(b.c)=Ra(Ra(b) . Ra(c))
.Ra(b+c)=(Ra(b)+Ra(c)).Ra
MCDs:
.(a:b)=(b:a)=(-a:b)=(a:-b)=(-a:-b) (no ambos 0)
.(a:0)=(0:a)=|a|
.(a:b)=(a+b.k:b)
.Recordar el Algoritmo de Euclides para calcular MCDs
.(a:b)=(Ra(b):b)
(no ambos 0) tal que (a:b) = 1
. a y b 2 primos Son coprimos
.a primo = p
p no divide a b Los únicos divisores comunes son +-1 (p:b)=1
.(a:b) = 1,
.(a:b) = 1
. p primo si p/a.b p/a ó p/b
.(no ambos 0),(a:b) = 1 tq 1=s.a+t.b
.(no ambos 0),a=(a:b).k , b=(a:b).k'
.(a:b)=s.a+t.b
. c>0 ; (c.a:c.b)=c.(a:b)
.(a:b) = 1 y (a:c)=1 (a:b.c) = 1
.(a:b)=1
.p primo (p:a)=1
. Todo a entero distinto de 0,1 y -1 se puede escribir como producto de primos a potencias.(Teorema fundamental de la aritmética)
.p primo
.d/a y d/b d/(a:b)
MCMs:
. [a:b]=[-a:b]=[a:-b]=[-a:-b]=[b:a]
.a/b [a:b]=|b|
.a/b (a:b)=|a|
.(a:b)=1 [a:b]=|a|.|b|
.[a:b] . (a:b) = |a|.|b|
.[a:b]=
.Pequeño Teorema de Fermat:
.Teorema de Fermat:si (a:p) = 1
Pongo un ejemplo para que se entienda:
5a+8b = 3
Primero busco una solución particular "a ojo" o aplicando algoritmo de Euclides.
para este caso usemos 1=2.8 - 3.5 3= 6.8 - 9.5
Entonces todas las soluciones serán:
entonces queda: a= -9+8k b= 6-5k
(en este caso uso 8 y 5 pero pueden variar,obviamente)
Nota: a uno de los sumandos se le cambia el signo...en este caso se lo cambié al "5k"
Importante: Los números en los lugares de 5 y 8 deben estar COPRIMIZADOS. Es decir, divididos por todos sus divisores comunes hasta quedar coprimos.
. = +
..=
. = z
. =
.z.=
.z=
.
.|z.w|= |z|.|w|
.
. y
.
.
Gn (Raíces de la Unidad)
.Gn tiene n elementos
.
.
.
.
.n es par
.
.
. es una raíz enésima primitiva de la unidad si (k:n)=1
. w es primitiva de Gnlo es
.w es primitiva de Gn con k< n y k/n
.w ess primitiva de Gn si w^k = 1 n/k
.La suma de todas las Gn = 0 (todas las raíces de Gn)
.El producto de todas las raíces de Gn =
. gr(f.g)= gr(f)+gr(g)
.
.
.Polinomio mónico= {Coeficiente principal=1}
.
-Suma de raíces de F(x) (OJO! es MENOS la suma!)
.
.
.Si
.En (f(x): f'(x)) aparecen exactamente las raíces con multiplicidad mayor que 1 de f(x)
.Para obtener un polinomio con las mismas raíces que f(x) (que tiene alguna múltiple) pero todas simples:
.Los polinomios irreducibles en son los de grado 1.
.Los polinomios irreducibles en son de grado 1 ó 2
.Si definimos contendio de f:
cont f(x)=(
.Decimos que f es primitivo si f(x)=1
.Cont{g(x) . f(x)} = cont f(x). cont f(x)
.Si tengo un polinomio de coeficientes enteros de grado n,puedo hallar los divisores del término y los de llamándolos p y q respectivamente,entonces si el polinomio tiene alguna raíz real,esta será alguna de las que obtengo haciendo p/q (tomando ambos, valores positivos y negativos para cada uno de los divisores)
: