Hola a todos. Estaba viendo los apuntes de Teresa Krick y los de Puddu, sobre complejos y raíz enésima de la unidad, y me encontré con algo sobre primitivas que no termino de entender.

Una def. de los apuntes de complejos de Puddu (pag. 12, es una observación, el link esta mas abajo), dice que:
(con )


Y en el de Krick, en una parte (cap. 5, pag. 17, Proposición 5.1.17, la parte de complejos es esto), dice que w es una raíz enésima primitiva de la unidad si y solo si:


Y esto me está re confundiendo, porque yo interpreto, en el apunte de Puddu (que es lo que me parece mas lógico), que una raíz primitiva, elevandola a la r, me permite "llegar" a las demás raíces de Gn. Pero por otro lado Krick aparece con esto de que w^m=1? osea, no puedo "llegar" a todo z elevando a w a determinados números, siempre me da 1 (según Krick, o según lo que yo estoy entendiendo).

Si alguien me puede dar una mano, gracias, que no lo estoy logrando sacar...


Link del apunte de Puddu:
Link del apunte de Krick:

Lo que decis del apunte de Puddu , esta bien .
Respecto al apunte de Teresa , lo que dice es que si w es primitiva de orden n , y w^m da 1 solamente en los multiplos de n .
Sobre como "generas " las demas raices , fijate la pagina 14 , proposicion 5.1.11 , la de Grupo Abelianos.
Si z y w son raices de Gn . z*w tambien es raiz de Gn.
Entonces si elevas una raiz enesima primitiva a distintas potencias , seguis "estando" en Gn y como solo da 1 en ciertos casos , no te queda otra que generar el resto

Me parece que entendí.
Claro, acá me dice w^m=1 como hipótesis del si y solo si, y como es primitiva, yo se que recién w^n=1, así que si w^m=1, es porque m=n*k, claro.

Muchas gracias por la respuesta Luis, entre tantos w y w sub algo y w super algo me re confundo.