Quiero ver que es un proyector usando la propiedad que para todo x perteneciente a la imagen de .
Como
Ahora, sea una base de , quiero ver dos cosas, una es que la intersección de los nucleos es 0, osea que estan en suma directa y forman una base de y la otra es que si un elemento pertenece al nucleo B, ese elemento por A vuelve a dar el mismo(También para nucleo de A con B), y usando eso ver que A y B son proyectores.
Propongamos que y , entonces tenemos que:
, osea que para todo elemento v del nucleo de A,
Lo mismo para el nucleo de B es decir
Ahora tomemos
Tenemos que
Osea que el unico elemento de la intersección es el vector 0, y ademas (aca usamos el rango de A y B), la suma de los Nucleos de A y B también es n.
Por lo tanto concluimos:
Osea que todo elemento del nucleo de A pertenece a la imagen de B (sino se anularia en B) y todo elemento del nucleo de B pertenece a la imagen de A, veamos usando la proposicion del principio que y .
De vuelta, sea
Ahora, como la suma conmuta luego a es un proyector. Usando el mismo argumento con v en la imagen de A sale que B es proyector.Estadísticas: Publicado por Mr. Z — 20 Jul 2013, 20:29
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