modulo de f(x) - f (p) - Tp (x-p) sobre norma de (x-p) tiende a cero, cuando X tiende a P (espero que se entienda, sino lo escribo en formula la proxima)
Como el limite del enunciado existe, en particular existe componiendo con cualquier curva que tenga limite P . Tomamos X= P + tV (con V de norma 1)
y tenemos que, por un lado X-P= tV y por otro lado norma de (X-P)= t , reemplazando estas cosa en la expresion de arriba queda;
Limite (cuando t tiende a 0) de f (P+tV) - f(P) -Tp (tV) / t = 0 (todo en modulo claro)
ahora distribuyendo la t: lim [ f (P+tV) - f(P) ] / t -Tp (V) = 0 (recordar que vale sacar el escalar t afuera en la TL )
en definitiva lim [f (P+tV) - f(P)]/t = Tp (V) ya que lo de la derecha dejo de depender de t
El limite de la izquierda es la derivada direccional de f en el punto P, entonces como Tp existe, tambien existe cualquier derivada direccional, en particular existen todas las derivadas parciales...Estadísticas: Publicado por placopas — 12 Ago 2013, 22:43
]]>