UBACS Q&A Foro WikiCS
Fecha actual 06 Dic 2019, 12:45




 Página 1 de 1 [ 2 mensajes ] 
Autor Mensaje
 Asunto: Nociones básicas de topología, el espacio euclídeo, números
NotaPublicado: 23 Feb 2009, 01:10 
Ayudante de Segunda

Registrado: 29 Sep 2008, 23:45
Mensajes: 68
La idea del thread es ir agregando nociones que permitirían fundamentar el cálculo integral y difirencial que se ve en análisis I. Me gustaría que vayan viéndole un vistazo a ver qué futuro creen que podría llegar a tener y me vayan diciendo si hay errores, hay cosas que están de más, faltan otro tanto de cosas importantes y lo que se les ocurra. Me di cuenta que me tomará más tiempo del que creí hacer el thread (lo comencé a escribir hace varias horas) y decidí ir subiéndolo y hacerlo con más tiempo y tranquilidad.

En fin... esto es lo que llevo (por ahora son sólo cosas de análisis del CBC):

A lo largo de esta discusión iré escribiendo las nociones básicas sobre topología, los espacioes euclídeos, los números reales y las sucesiones reales que servirán como fundamento para el cálculo diferencial e integral de análisis I. Se tendrán que tener ciertas nociones básicas de matemática, pero serán realmente mínimas. Asimismo, el post está abierto a modificarse con el tiempo según lo que la gente recomiende u observe que se encuentra mal hecho.

Resolución
Repaso de conceptos: Primera parte
Sobre la construcción axiomática de los números reales.

Todo el mundo conocerá el conjunto de los números naturales \mathbb N = \{1,2,3...\} y varias propiedades de este conjunto. Nadie dudará que si a, b y c son números naturales, resultará que a+b y a\cdot b también lo serán, que la expresión a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c es válida o que (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 también lo es. Pero si a uno le dijeran que a-b es un número natural si a y b fueran números naturales, uno podría objetar pues sabe que esta sentencia no sería necesariamente cierta y que necesitaríamos de los números negativos y el 0 para solucionar cuestiones como 2-7. Con esta nueva noción creamos un nuevo conjunto que denominamos de enteros y lo notamos como \mathbb Z = \{0,1,-1,2,-2...\}. Nuevamente, nosotros podríamos trabajar sobre este conjunto reconociendo bastantes propocisiones verdaderas y falsas. A medida que uno sigue avanzando y se encuentra con \mathbb Q o con \mathbb R quizá, uno empiece a preguntarse cómo puede realmente estar seguro que de una proposición determinada es verdadera o falsa (i.e. ¿el conjunto A=\{x:x^2<2\} tiene supremo? ¿Por qué 0\cdot x=0?) y de alguna forma u otra llegará a aceptar que un buen método es dar determinadas sentencias como verdaderas y utilizarlas para demostras las demás. Dichas sentencias las llamaremos axiomas y las correspondientes a los números racionales \mathbb Q serán las siguientes:

Si a,b,c\in\mathbb Q, entonces:

Axioma I: Propiedad conmutativa de la suma.
a+b=b+a

Axioma II: Propiedad asociativa de la suma.
(a+b)+c=a+(b+c)

Axioma III: Existencia del elemento neutro aditivo.
a+0=a

Axioma IV: Existencia del elemnto inverso aditivo.
Existe b de forma tal que a+b=0

Axioma V: Propiedad conmutativa del producto.
a\cdto b = b\cdot a

Axioma VI: Propiedad asociativa del producto.
(a\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Axioma VII: Existencia del elemento neutro multiplicativo.
a\cdot 1 = a

Axioma VIII: Existencia del elementro inverso multiplicativo.
Si a\neq 0, entonces existe b de forma tal que a\cdot b = 1

Axioma IX: Propiedad distributiva.
a\cdot(b+c) = a\cdot b+a\cdot c.

Axioma X: Tricotomía.
Una y sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a<b
a=b
b<a

Axioma XI: Transitividad.
Si a<b y b<c, entonces a<c

Axioma XII: Monotonía de la suma.
Si a<b, entonces a+c<b+c.

Axioma XIII: Monotonía del producto.
Si a>0 y b<c, entonces a\cdot b<a\cdot c

Con estos axiomas ya somos capaces de demostrar muchas propiedades que conocemos de los números racionales. Por ejemplo, se puede demostrar que x^2=x\cdot x \geq 0 (en consecuencia 1>0, si a+b=a entonces b=0, o, incluso, el binomio de Newton.

El siguiente axioma, llamado axioma de completitud, es el que distingue a \mathbb Q de \mathbb R y dice así:
Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Recordemos que un conjunto A es acotado superiormente si existe un número a que satisfaga que x<a si x\in A, dicho número a se denomina cota superior de A. Diremos que la menor de las cotas superiores es el supremo.

Imagino que ya tendrán ciertas ideas y no los voy a agobiar demasiado con estos temas. Se encuentra el foro para consultas. Lo que sí, es bueno intentar demostrar las propiedades básicas que conocemos para ir acostumbrándose a esta forma de trabajar. Muchísimos más detalles se podrían nombrar, pero los dejaremos para otro momento.

Resolución
Repaso de conceptos: Segunda parte
Sucesiones reales.

Nuevamente, se supone que estos temas ya los tienen vistos. Veremos las definiciones que necesitaremos rápidamente y si falta alguna, pues... avisen que la agrego.

Definiremos a los números naturales de la siguiente forma:
1\in \mathbb N
Si n\in \mathbb N, entonces n+1\in \mathbb N *(1)

Principio de inducción (puede ser demostrado, pero se nos escapa)
Decimos que una proposición P(n) es cierta para todo n\in \mathbb N si se cumple:
P(1)
Si P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta.

De esta forma se puede definir, por ejemplo, el factorial de un número. Veamos cómo:
0! = 1
n! = n(n-1)!

Definición.
Diremos que f es una sucesión de números reales si es una aplicación de \mathbb N \longrightarrow \mathbb R. Denotaremos las sucesiones como a_n,b_k,c_j,d_i...

Definición.
Sea a_n una sucesión real, diremos que a_n es monótona creciente si a_n \leq a_n_+_1, monótona decreciente si a_n\geq a_{n+1}, estrictamente creciente si a_n < a_{n+1}, estrictamente decreciente si a_n>a_{n+1}.

Definición
La función f(x) que satisface:
f(x)=\begin{Bmatrix} x & \mbox{ si }& x\geq0\\-x & \mbox{ si }& x<0\end{matrix}
La llamaremos módulo de x y la denotaremos por \left |{x}\right |

Definición
Diremos que una sucesión a_n converge a l, tiende a l o que su límite es l y se denotará por cualquiera de las siguientes expresiones \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=l, \displaystyle\lim a_n=k, a_n\longrightarrow k si y sólo si:
\forall{} \varepsilon >0, \exists{}n_\varepsilon : \mbox{ si } n>n_\varepsilon \mbox{ entonces }\left |{a_n-l}\right |<\varepsilon

Proposición
Una sucesión real a_n es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, que satisface:
\forall{} \varepsilon >0, \exists{}n_0 : \mbox{ si } n,m>n_0 \mbox{ entonces }\left |{a_n - a_m}\right |<\varepsilon
Dejaremos la demostración de lado porque, honestamente, no se me ocurre cómo demostrarlo.

Ejercicios.

Demuestre:

1) Unicidad del límite. Sea a_n una sucesión tal que a_n\longrightarrow l_1 y a_n\longrightarrow l_2. Demuestre que l_1=l_2

2) Si a_n es convergente, entonces a_n es acotada.

3) Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes tales que \lim a_n = \lim b_n = l, entonces si a_n<c_n<b_n, entonces \lim c_n = l

4) Sean \lim a_n = l_1 y \lim b_n = l_2, entonces \lim a_n + b_n = l_1 + l_2 y \lim a_n \cdot b_n = l_1 \cdot l_2

Definición
Una sucesión a_n se dice acotada superiormente (*acotada inferiormente) si el conjunto \{a_n\} es acotado superiormente (*acotado inferiormente).



Proposición
Una sucesión creciente (*decreciente) y acotada superiormente (*inferiormente) converge a su supremo (*ínfimo).

Demostración.

Tomemos A=\{a_n\}. Como A está acotado resultará que existirá un c=sup(A) (que existe) tal que a_n\leqc, y por ser el supremo sucederá que dado \varepsilon>0 existirá un n_0 tal que a_{n_0}>c-\varepsilon y por ser creciente si n,m>n_0 se tendrá que c-(c-\varepsilon) > a_n-(c-\varepsilon) > \a_m - (c-\varepsilon) >a_{n_0}-(c-\varepsilon)>c-\varepsilon - (c-\varepsilon) Por lo que c>a_n>a_m>a_n>c-\varepsilon.

Definición. Si b_n es una sucesión natural monótona, entonces la sucesión a_{b_n} se llama subsucesión de a_n.


Teorema: Toda sucesión posee una subsucesión monótona.

La idea de la demostración sería definir los puntos cumbre. Es decir, aquellos que cumplen con que si n>p \Rightarrow a_n \leq a_p. De existir, la subsucesión de puntos cumbre es decreciente. De no existir tal subsucesión, entonces existirán puntos cada vez mayores, por lo que habríamos encontrado una creciente.

Teorema: Toda sucesión real acotada posee una subsucesión convergente.

Demostración: Si bien se puede utilizar el resultado anterior, dejaremos la demostración para más adelante.

Ejercicios:

1) Defina recursivamente:
a) La potenciación en \mathbb. a^b, a,b\in \mathbb Z (considere qué hacer con 0^0)
b) El símbolo sigma de sumatoria \sum_{i=a}^n{a_i}, a<n, a,n\in\mathbb N
c) El símbolo pi de productoria \prod_{i=a}^{n}{a_i}, a<n, a,n\in\mathbb N

2) Considere la sucesión a_n = (1+ \frac{1}{a_n})^n
a) Demuestre que es monótona creciente.
b) Demuestre que está acotada inferior y superiormente por 2 y 3
c) Deduzca que es convergente. Llamaremos e al límite.

3) Considere las sucesiones
x_n = \sum_{i=0}^n{\frac{1}{j!}}
y_n = x_n + \frac{1}{n!}
a) Probar que x_n e y_n son crecientes y decrecientes respectivamente.
b) Probar que \lim x_n - y_n = 0
c) Concluír que \lim x_n = \lim y_n que llamaremos e'
d) Probar que e' = e
e) Probar que e es irracional.
f) Probar que e es irracional utilizando que e^x = 1+x+x^2/2! + x^3/3!...

4) Considere la sucesión a_1 = \alpha con \alpha \in \mathbb Q 0<\alpha<1 y a_{n+1} = \frac{\alpha + a_n}{1+a_n}
Probar que la sucesión converge a un número racional o irracional dependiendo del valor de \alpha

5) Aproximación de la raíz cuadrada.
Dado un número b>0, considerando la sucesión
a_1 = a > 0
a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{b}{a_n})

a) Probar que a_n^2\leq b si n>1
b) Probar que la sucesión es decreciente.
c) Probar que \lim a_n = \sqrt{}{b}
d) Probar la estimación del error dada por
0<a_n-\sqrt{}{b}\leq(1/2)*{n-2}(a_2-\sqrt{}{b}) si n>1

6) Demuestre: Si a_n \to l, entonces toda subsucesión converge a l.

Notas:
(1) Lo correcto es definir a los naturales con una operación siguiente denotada comúnmente como n'. Así, luego de probar la validez de las expresiones recursivas, se pueden definir la suma y el producto como las operaciones que satisfacen:
Suma: i) m+0=m, ii) m+n' = (m+n)'
Producto: i) m \cdot 0 = 0, ii) m \cdot ( n + 1 ) = m \cdot n + m
La presencia del 0 en este caso no nos afecta en nada.


Definiciones previas
Nociones básicas sobre teoría de conjuntos.

Una pequeña ida y vuelta antes de ver un poco de topología.

Para poder trabajar, por ejemplo, sobre el plano, es necesario poder distinguir los pares (a,b) y (b,a), mientras que en los conjuntos \{c,d\}=\{d,c\}. Por lo que una definición razonable será (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\} y estos pares los llamaremos pares ordenados. El producto cartesiano A\times B será el conjunto de pares ordenados (a,b) tales que a\in A, b\in B.
Un conjunto de pares ordenados se llama relación. Si en particular el primer elemento es único para cada par, es decir (a,b)\in F y (a,c)\in F implica que b=c, entonces la relación F se llama función y se escribe b = F(a). Diremos que es inyectiva si F(x) = F(y) \Rightarrow x = y

Dada una relación R se define R^-^1 = \{(a,b):(b,a)\in R\} y se la denomina inversa de R (eventualmente podrán ser funciones).

Teorema Si F es una función inyectiva, entonces la relación inversa F^-^1 es una función.

Las definiciones de dominio Dom(f), imagen Im(f) y composición f\circ{}g serán aquellas que ya conocemos. En particular, las funciones cuyo dominio sea \mathbb N las llamaremos sucesiones.

Definición: Dos conjuntos A y B se llaman coordinables o equipotentes si existe alguna función inyectiva F tal que Dom(F) = A, Im(F) = B. La idea de esta definición es que se nos permite pensar, de alguna forma, la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Si el conjunto es finito, ie \{A,B,C,D\}, entonces lo que habremos hecho es contar (F(1) = A, F(2) = B, F(3) = C, F(4) = D), por lo que el resultado es el esperable. Sin embargo, cuando el conjunto es infinito, la noción intuitiva la perdemos y esta se vuelve un excelente recurso. Por cierto, utilizaremos el asterisco/estrella para señalar que dos conjuntos son coordinables, es decir A*B (se suele usar ~, pero no recuerdo cómo se hacía en \LaTeX).

Diremos que un conjunto A es finito y que tiene m elementos si y sólo si A*\{1,2,...,m\} (m se llamará cardinal de A). Aquellos conjuntos que no sean finitos serán infinitos, salvo el vacío cuyo cardinal será 0. Es sorprendente que una definición alternativa para decidir cuándo un conjunto es finito o infinito es la siguiente:
Un conjunto es finito si y sólo si no es coordinable con ningún conjunto propio. Es decir, un conjunto será infinito si y sólo si posee un conjunto propio equipotente. Veamos un ejemplo:

El conjunto P de los números pares es claramente un conjunto propio de los números naturales \mathbb N. La función f:\mathbb N \longrightarrow P: f(n) = 2n es inyectiva sobre P. Por lo que P y \mathbb N son coordinables. Es decir, que por más que P esté estrictamente incluído en \mathbb N, la "cantidad" de elementos es la misma. Además de los pares, se podrían haber elegido los números impares, primos, cuadrados, potencias de k, etcétera. Y todos ellos serán coordinables entre sí. Sorprendentemente, también el conjunto de los números racional \mathbb Q lo será (se los dejo para que lo piensen).

Definición: Un conjunto A se llama infinito numerable si es equipotente a \mathbb N.

Cuando un conjunto tiene esta propiedad, nosotros podremos describir al conjunto como A = \{a_1, a_2,...\} (¡nunca poner un a_n al final!) o como \{a_i\} simplemente. Es decir, lo describimos mediante una sucesión inyectiva. Se dice que su cardinal es \aleph_0 (álef subcero).

Un conjunto será numerable si o bien es finito o bien es infinito numerable.

Proposición: Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Demostración. Sea A numerable, podemos suponer que es infinito y que el subconjunto B que tomamos también lo es (caso contrario no hay nada para probar). Si escribimos A = \{a_1,a_2,...\}. Tomamos b_1 al menor natural k que satisface a_k\in B que por el principio de buena ordenación existe. Ya definidos los m primeros elementos de b, definimos de forma análoga b_{m+1} sobre el conjunto A - \{b_1,...,b_,\}. Q.E.D.

¡El conjunto de los números reales \mathbb R no es numerable!

Demostración (diagonalización de Cantor): Por la proposición anterior, nos bastará probarle para el intervalo (0,1). Si el conjunto fuera numerable, existiría a_n que recorra todos los números. Podemos expresar sus términos como:
a_n = b_{n_1}b_{n_2}b_{n_3}...

Luego nos construímos una sucesión c_n = \begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& b_{n_n}\neq1\\2 & \mbox{si}& b_{n_n}=1\end{matrix}.
Entonces, el número y = 0.c_1c_2c_3... no será imagen de la sucesión a_n pues necesariamente difiere del m-\acute{e}simo elemento en el m-\acute{e}simo decimal.

Esta proposición, aunque en principio no lo parezca, es muy fuerte y nos está diciendo que aunque ambos conjunto \mathbb N y \mathbb R sean infinitos, el segundo posee muchísimos elementos más que el primero (cosa que no sucede con \mathbb Q).

Notaciones y álgebra de conjuntos.

La unión de conjuntos A\cup B, al igual que la intersección, puede extenderse a una familia o colección de conjuntos infinita utilizando los operadores \displaystyle\bigcup, \displaystyle\bigcap de la siguiente forma (análoga para el otro). Si la colección de los conjuntos A_i es F, entonces:
\displaystyle\bigcup\limit_{A\inF}^{}{ }A
Si F es infinito numerable:
\displaystyle\bigcup\limit_{i=1}^{\infty}{ }A_i
Si posee m conjuntos:
\displaystyle\bigcup\limit_{i=1}^{m}{ }A_i

Teorema:
B - \displaystyle\bigcup\limit_{A\inF}^{}{ }A = \displaystyle\bigcap\limit_{A_i\inF}^{}{ }(B-A)
B - \displaystyle\bigcap\limit_{A\inF}^{}{ }A = \displaystyle\bigcup\limit_{A_i\inF}^{}{ }(B-A)


Desconectado
 Perfil  
 
Mostrar mensajes previos:  Ordenar por  
 Página 1 de 1 [ 2 mensajes ] 


¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado


No puede abrir nuevos temas en este Foro
No puede responder a temas en este Foro
No puede editar sus mensajes en este Foro
No puede borrar sus mensajes en este Foro
No puede enviar adjuntos en este Foro

Buscar:
Saltar a:  

cron