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 Asunto: Ej interesante Vendramin sobre cíclicos [Resuelto]
NotaPublicado: 26 Feb 2015, 16:14 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Acá cuento cómo resolví un ejercicio. Si lo hice mal o si a alguien se le ocurre una manera más fácil, que avise!

En un espacio de dimensión finita, f endomorfismo, p \in K[X]

Sean v, w vectores.
Si z es un vector,
p(z) = p(f) (z)

Si m_v=m_w \Rightarrow m_{p(v)} = m_{p(w)}

Mi idea es esta:

Sea Q = (m_v:p) (el máximo común divisor).

Digamos que:
m_v = QM
p = QP,

con (Q:P)=(Q:M)=1.

Propongo a nuestro amigo M como m_{p(v)} = m_{p(w)}.

M(f)(p(v)) = M(f) Q(f) P(f) (v) = P(f) m_v(f) v = 0.

entonces M | m_{p(v)}.

Veamos que m_{p(v)} | M.

m_v | m_{p(v)} pues m_v(f) p(v) = 0 (ejercicio para el lector)

Entonces, en particular,

m_v | m_{p(v)} * p. Es decir,

M Q | m_{p(v)} Q P \Rightarrow

M | m_{p(v)} P

(M:P) = 1 (ejercicio) \Rightarrow M | m_{p(v)}.
Como puedo suponer a p mónico, entonces son iguales.

Análogamente, pruebo queM = m_{p(w)}. Listo el pollo.
Yo directamente busqué a M, tal vez esto se podría haber resuelto sin buscarlo.


Última edición por billy el 02 Mar 2015, 13:06, editado 1 vez en total

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 Asunto: Re: Ej interesante Vendramin sobre cíclicos [Resuelto]
NotaPublicado: 26 Feb 2015, 18:32 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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v es un vector? que significa p(v)?



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Quimey
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 Asunto: Re: Ej interesante Vendramin sobre cíclicos [Resuelto]
NotaPublicado: 02 Mar 2015, 13:07 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Ahi lo edité para mayor claridad.


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 Asunto: Re: Ej interesante Vendramin sobre cíclicos [Resuelto]
NotaPublicado: 02 Mar 2015, 13:47 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Me parece que hay algunos problemitas con las justificación. Yo intentaría hacer más o menos lo mismo que vos pero sin involucrar al M. Probá directamente que m_p(v)(f)(w)=0 y al revés.



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Quimey
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 Asunto: Re: Ej interesante Vendramin sobre cíclicos [Resuelto]
NotaPublicado: 05 Mar 2015, 22:46 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Me parece una buena idea....pero lo estoy intentando SIN pasar por lo de la M y no me sale. (Asumo que quisiste decir que evaluando en p(w) de 0, no en w)

Estoy usando que m_v = m_{p(v)} Q = m_{p(w)} R....algún tip? Rindo mañana :)


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