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 Asunto: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 08 Feb 2015, 14:15 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
V,W^ son espacios vectoriales con producto interno, f \in Hom(\matbb{V},\matbb{W}).

Probar que si dim \matbb{V}, \mathbb{W} < \infty \Rightarrow Im(f*) \supset Ker(f)^ \perp. (Se puede asumir que la otra desigualdad ya vale).

Estuve un buen rato...Si llamo v_0 al vector ortogonal al núcleo de f, no sé cómo probar que existe un w tq f^*(w)=v_0. Ni tampoco me sale por el absurdo....

Claramente hay que usar que las dimensiones son finitas, pero me estuve armando bases de...las distintas cosas (también aprovechando que las podía crear ortonormales) y no llegué a nada. Alguna idea? Muchas gracias!


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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 08 Feb 2015, 16:30 
Profesor
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Registrado: 02 Abr 2009, 16:18
Mensajes: 294
Si ya sabés que vale la otra inclusión fijate si te sale probar que las dimensiones son iguales (ahí estarías usando que las dimensiones de V y W son finitas).



_________________
\bigstar Sofi \bigstar
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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 08 Feb 2015, 17:03 
1er Licenciado
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Otra forma:
Resolución
Demostrá primero que (\textrm{im}f^*)^\perp\subseteq \ker f y después tomá ortogonal a ambos lados.
Está demo solo usa que la dimensión de V es finita.



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Quimey
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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 09 Feb 2015, 16:30 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Buenísimo, gracias!

Creo que tengo bien ambas formas:

Sofía:
Resolución
Si me creo una B BON de V tal que contenga a B1 base de Nu(f),
usando que dim(Im(f^*))=dim(Im(f)) y que dim(Im(f)) = dim(Nu(f)^ \perp), sale.


Quimey:

Resolución
Sea v/ <f^*(w),v>= 0 \forall w \in \mathbb{W}. qvq f(v)=0.
Esto es lo mismo que probar que ||f(v)||=0 \Leftrightarrow <f(v),f(v)>=0 \Leftrightarrow <f^* o f(v), v> = 0. Llamando w=f(v), queda
<f^*(w), v> = 0, lo cual sabemos que vale. Tomando ortogonal a ambos lados, queda lo pedido.


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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 10 Feb 2015, 14:15 
1er Licenciado
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Y cuándo usaste dimensión finita? :roll:



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Quimey
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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 17 Feb 2015, 18:41 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Je. En la de Sofía, cuando digo que las dimensiones son iguales para probar que los conjuntos son iguales.

En tu idea, CREO que es cuando tomo ortogonal a ambos lados. Esto lo puedo hacer porque estamos en dimensión finita? No se me ocurre un contraejemplo para cuando estamos en infinita...


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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 17 Feb 2015, 20:45 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Efectivamente es ahí. Encontrar un ejemplo es un poco mas delicado, pero cualquier subespacio no cerrado te sirve (porque el ortogonal siempre es cerrado). Si esto no tiene sentido ahora, esperá a cálculo avanzado :P



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Quimey
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 Asunto: Re: Ejercicio sobre adjuntas
NotaPublicado: 18 Feb 2015, 15:48 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Voy a probar con el espacio de polinomios :)


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