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 Asunto: [No resuelto] Final sin fecha.
NotaPublicado: 02 Ago 2012, 21:02 
Estudiante

Registrado: 16 Jun 2012, 19:05
Mensajes: 41
Hola a todos, queria ver si alguien podia tirarme una idea con dos ejercicios de un final, que no tiene fecha, por lo menos en la fotocopia que tengo. Pero los escribo.

Primer ejercicio:

Sea\: D= [0,1]x[0,1]:<br /><br />Si\: g\:es\:una\:funcion\:de\:clase\:{C}^{1}, g:D\rightarrow \mathbb{R}\: \:tal\:que\:g(1,y)=0 \forall \:y,\:probar\:que\: \exists P\in D\: tal\:que

g(P)=-\int_{}^{} \int_{D}^{} x.{g}_{x} (gx la derivada respecto de x)

Yo intente decir que como g es clase c1, puedo aplicar el teorema de la funcion implicita suponiendo que la derivada respecto de x no se anula (si se anula, la integral es nula). Entonces me queda una funcion x=f(y) implicita, y quiero ver si puedo decir que esa funcion es siempre 1 pues tengo que g(1,y)=0 \: \forall y y me quedaria g(f(y),y)=0 \: \forall y Puedo poner eso?

El otro ejercicio es de una integral impropia, aca lo pongo

Sea\: f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \: derivable \: tal\:que\: f(0)=0 Analizar la convergencia de la integral:


\int_{1}^{\infty}{f(1/x)}\over{{x}^{r}} para\: r>0

Este ultimo, lo pude hacer para r>1. Pero tengo problemas para r\leq 1.

Pense que como f es derivable, en particular es continua, entonces me esta diciendo que si 1/x \rightarrow 0 entonces f(1/x) \rightarrow 0 entonces capaz puedo comparar con g={1}\over{f(1/x)} o con {1}\over{{x}^{r}} se me cancelan las x, me queda integral de f(1/x) y digo que converge por que se anula. Puedo decir eso o estoy mandando una verduleria de cosas?
(la integral es de 1 a infinito, nose porqe me lo pone 1|infty )

gracias desde ya!


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 Asunto: Re: [No resuelto] Final sin fecha.
NotaPublicado: 03 Ago 2012, 14:00 
Ayudante de Segunda

Registrado: 26 Abr 2012, 09:13
Mensajes: 99
Hola.

Para el primero podés empezarlo sacándote de encima la "x" que multiplica a la gx (lo podés hacer haciendo partes y fubini). Después aplicás el teorema de valor medio para integrales y te queda.

Para el segundo:

Resolución
Hacemos un cambio de variable:
y = \frac{1}{x} \Rightarrow dy=\frac{-1}{{x}^{2}}dx=-{y}^{2}dx \Longleftrightarrow dy(-{y}^{-2})= dx
Luego para x\rightarrow \infty, y\rightarrow 0 y x=1, y=1
Entonces nos queda:
\int_{1}^{0} {y}^{r} (-{y}^{-2}) f(y) dy = \int_{0}^{1} {y}^{r-2} f(y) dy
Luego como f es derivable en los reales, entonces podemos usar lagrange en dos puntos cualesquiera. Elijo los puntos y\in (0;1) y 0, entonces me queda:
f(y)-f(0) = f'(c)y = f(y) pues f(0)=0, con c en el intervalo (0;y)
Entonces nos quedó:
\int_{0}^{1} {y}^{r-2} f(y) dy = \int_{0}^{1} {y}^{r-2} y f'(c) dy Luego, como este "c" depende de y de alguna forma, no podemos hacer mucho. Sin embargo, si consideramos el intervalo cerrado [0;1], como la función es derivable, se tiene que la derivada en ese intervalo está acotada, por lo que f'(c)\leq M. Entonces ahora nos quedó \int_{0}^{1} {y}^{r-1} f'(c) dy \leq M \int_{0}^{1} {y}^{r-1}dy. Ahora te fijás para qué valores de r esto converge (ojo!, hay que tomar M positivo y no te dice nada para los valores de r donde no converge, porque estás acotando para arriba). Lo que te faltaría ver luego es analizar los valores de r donde falla la cota.


Espero que te haya servido. Un saludo.


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 Asunto: Re: [No resuelto] Final sin fecha.
NotaPublicado: 03 Ago 2012, 14:46 
Profesor
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 Asunto: Re: [No resuelto] Final sin fecha.
NotaPublicado: 03 Ago 2012, 17:17 
Estudiante

Registrado: 16 Jun 2012, 19:05
Mensajes: 41
Gracias a ambos. El de convergencia me costó entenderlo un buen rato, pero creo que ya lo capté.

No habia visto que estaba resuelto el final en otra parte, pasa que mi fotocopia no tiene fecha y me mate buscandolo pero se ve que lo pasé por alto.

En el final, si resuelvo el de convergencia probando directamente la convergencia en modulo, puedo decir que como converge absolutamente, entonces converge entera y asi me ahorro un par de cuentas? En el que esta resuelto por exequiel hace eso, pero bueno, pregunto por qe capaz me dicen "nono, hace primero normal, despues absoluta" y me mato.


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 Asunto: Re: [No resuelto] Final sin fecha.
NotaPublicado: 03 Ago 2012, 17:39 
Ayudante de Segunda

Registrado: 26 Abr 2012, 09:13
Mensajes: 99
kainisma escribió:
Gracias a ambos. El de convergencia me costó entenderlo un buen rato, pero creo que ya lo capté.

No habia visto que estaba resuelto el final en otra parte, pasa que mi fotocopia no tiene fecha y me mate buscandolo pero se ve que lo pasé por alto.

En el final, si resuelvo el de convergencia probando directamente la convergencia en modulo, puedo decir que como converge absolutamente, entonces converge entera y asi me ahorro un par de cuentas? En el que esta resuelto por exequiel hace eso, pero bueno, pregunto por qe capaz me dicen "nono, hace primero normal, despues absoluta" y me mato.


Si demostrás que converge absolutamente ya está. Tenés que justificar bien el procedimiento nada más.


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