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 Asunto: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 14 Abr 2010, 21:39 
Vago

Registrado: 26 Mar 2009, 21:59
Mensajes: 16
1)
i)\;Demostrar\;que\;la\;formula

\qquad \displaystyle{1 \over 2}\displaystyle\int_{C} x\, dy - y\,    dx


calcula\;el\;area\;encerrada\;por\;la\;curva\;parametrica\;plana,\;simple\;cerrada\;y\;suave\;C.


ii)\;Usando\;i)\;calcular\;el\;area\;de\;la\;region\;de\;R^2\;encerrada\;por\;el\;eje\;x\;y\;la\;curva\;dada\;por

x(\phi)= 2 + cos(\phi), y(\phi) = \displaystyle{1 \over 2}sen(\phi), 0 \le \phi \le \pi



2)
Sea\;F = ({yz \over 1+y^2+x^2}+x,\;tan^2(x)y + 2y,\;-tan^2(x)z + 1).\;Calcular


\displaystyle\int_{S} F.\, dS

donde\;S = {[(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1,\; z\ge 0]} \;esta\;orientada\;con\;la\;normal\;que\;tiene\;coordenada\;z\;mayor\;o\;igual\;a\;0.


3)
i)\;Sea\;A(t)\;una\;funcion\;de\; \mathbb{R}\;en\;{R^{2x2}\; continua.\;Probar\;que\;las\;soluciones\;de

X' = A(t)X,\; X(t)\in\ {R^2},

forma\;un\;espacio\;vectorial\;de\;dimension\;2

ii)\;Encontrar\;explicitamente\;una\;base\;del\;espacio\;de\;soluciones\;si

A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}


No parece muy dificil. Alguien rindió hoy? Pueden subir lo que se tomo...
Gracias.


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 07 Mar 2011, 14:38 
Vago

Registrado: 03 Mar 2011, 12:56
Mensajes: 5
IVAN escribió:

2)
Sea\;F = ({yz \over 1+y^2+x^2}+x,\;tan^2(x)y + 2y,\;-tan^2(x)z + 1).\;Calcular


\displaystyle\int_{S} F.\, dS

donde\;S = {[(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1,\; z\ge 0]} \;esta\;orientada\;con\;la\;normal\;que\;tiene\;coordenada\;z\;mayor\;o\;igual\;a\;0.


Cómo se hace? Porque calcular directamente el flujo, parece un dolor de cabeza, al menos, el planteo del campo evaluado en la parametrización. Después, si quiero aplicar el teorema de Gauss, la divergencia no es mucho más agradable, algo de la pinta xyz/(1+x2+y2) que ni en esféricas mejora. Por último pensé que podría ser que F fuera el rotor de algún otro campo, pero no verifica la propiedad que dice que si la divergencia de F es cero en todo R3, entonces es rotor de otro campo.
Por favor, si alguien sabe cómo hacerlo, díganme.

Muchas gracias


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 07 Mar 2011, 15:35 
Vago

Registrado: 21 Dic 2009, 16:32
Mensajes: 13
Creo que usando gauss sale. Terminas teniendo que calcular dos integrales,

1. La de 3 mas algo feo en la media esfera, pero por simetria podes argumentar que lo feo da cero

2. La de un campo no muy lindo en el piso de la media esfera, que cuando parametrizas te queda muy simple por que la normal es (0,0,p).

Despues hay que tener cuidado de los signos, etc, pero así creo que sale.


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 07 Mar 2011, 17:11 
Vago

Registrado: 03 Mar 2011, 12:56
Mensajes: 5
Ahh, buenísimo, me re-ayudaste! Una cosita más para terminar de entender.... cuál es el argumento de simetría que usás para decir que lo feo de la divergencia da cero? Estuve viendo y sí, la función es simétrica, pero no el dominio. Entonces no podría decir algo como que "lo que suma arriba se cancela con lo de abajo", porque tengo sólo mitad de esfera.


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 16 Mar 2011, 16:07 
Vago

Registrado: 02 Feb 2010, 15:23
Mensajes: 8
Gente la div F no da 3 y punto?

Sea F= F1 i +F2 j +F3 k

div F= dF1/dx + dF2/dy + dF3/dz

dF1/dx=1

dF2/dy=tan^2 (x)+2

dF3/dz=-tan^2 (x)

div F= 3

queda la integral de volumen por 3!. El resultado a mi me dio 2\pi


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 11 Sep 2012, 08:27 
Ayudante de Segunda

Registrado: 23 Jul 2011, 13:33
Mensajes: 52
claro la div(F)=3 entonces te queda la integral triple de 1 ( que es el volumen, en este caso de la semiesfera) todo multiplicado por 3. y dsp calculas la integral de superficie del disco con el que cerraste en z=0. lo unico que a mi me hizo entrar en duda es que F al tener algunas tangentes en sus coordenadas no se si es {C}^{1} en todo {R}^{3} y no se como justificar que lo es para aplicarle Gauss, gracias!


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 23 Mar 2015, 13:32 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Hola! div (F) no da 3, porque a \frac{yz}{1+y^2+x^2} también hay que derivarlo y no da cero (salvo que se hayan confundido y sea z^2 en vez de x^2).

Aparte, no se puede aplicar el teorema de la divergencia, al menos no directamente, porque la media bola no es simétrica.

Se podría calcular la integral de la media esfera superior + la de la inferior, y ahí aplicar Gauss....pero tendrías que restarle aparte la integral de la media esfera inferior, para quedarte con lo que querés.

Si calculo la divergencia, me queda \frac{2xyz}{1+x^2+y^2} + 3.

Llamo g(x,y,z) = \frac{2xyz}{1+x^2+y^2}.

g es impar vista como función de x, entonces la integral me va a dar 0 en la media esfera superior.

Ahora bien, tengo una duda: ¿puedo usar de tapa B = {(x,y,z) / z= 0; x^2+y^2<=1}?

Según el Cálculo Vectorial de Marsden&Tromba, para aplicar Gauss, la región "llena" del espacio tiene que ser simétrica.


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 Asunto: Re: FINAL DEL 12/02/2010
NotaPublicado: 20 Oct 2015, 19:46 
Vago

Registrado: 08 Abr 2013, 18:20
Mensajes: 13
Hola! El enunciado del problema 2 está mal copiado.

La primera coordenada de F es:

\frac{yz}{1 + y^{2}z^{2}} + x
, por lo que se expuso está a mi criterio muy bien!

Resumiendo:

Sea S la semiesfera positiva con normal exterior dada por z>0.

Se cierra la semiesfera con la tapa de abajo, sobre el plano. Sea S' esa tapa descripta según:

x^2 + y^2 = 1, z=0.

Luego se obtiene el volumen V.

Por el teorema de gauss se obtiene:

\int_{V}^{} div F dV = \int_{S}^{} F ds + \int_{S'}^{} F ds

Se despeja la integral que se quiere calcular, se calcula la div F que resulta igual a 3 y por ende la primera integral resulta igual a 2\pi.

\int_{S}^{} F ds = 2\pi - \int_{S'}^{} F ds

Ahora bien parametrizando la tapa de abajo se calcula la integral sobre S' que resulta igual a -2\pi, el signo menos sale de que la normal invierte la orientación de la superficie.

Entonces la integral pedida es igual a 4\pi.


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