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 Asunto: ej 8
NotaPublicado: 30 May 2009, 20:07 
Estudiante

Registrado: 30 Jul 2008, 15:13
Mensajes: 26
El ejercicio 8 de la Práctica de limites de osci. dice exactamente así:
8. Si {a}_{n}\rightarrowa y a>0
\longrightarrow limsup({a}_{n}{b}_{n})=a*limsup({b}_{n}).
Si además {b}_{n} mayor o igual a 0
\longrightarrow limsup{{b}_{n}}^{{a}_{n}}= a*limsup{b}_{n}

Hay que probar esas cosas. No me salió la 2da parte de este ej., probar que
Si {b}_{n} mayor o igual a 0
\longrightarrow limsup{{b}_{n}}^{{a}_{n}}= a limsup{b}_{n}

Se me ocurrio usar la propiedad del lim sup siguiente:
limsup({a}_{n})=L\Leftrightarrow
(\forall\epsilon>0)(\exists k \in \mathbb{N})(\forall n>k)
\longrightarrow {a}_{n}<L+\epsilon
(\forall \epsilon>0)(\forall k \in \mathbb{N})(\exists n>k)
\longrightarrow {a}_{n}>L-\epsilon

con eso probe la primer igualdad, pero no supe usarlo para lo segundo, por ahi no es esa la movida o por ahi no vi algo, no se pero la cuestion es q no salió. Al q conteste muchas gracias


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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 31 May 2009, 02:46 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
¿Quisiste decir limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq={(limsup {b}_{n})}^{a},\; limsup {a}_{n}\eq=a? En ese caso:
Resolución
Llamemos limsup {b}_{n}\eq=b,\,limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d. Queremos ver d\eq={b}^{a}. Para ello, probamos las dos desigualdades(estoy suponiendo a,b<+\infty. Fijate que si b\eq=+\infty la desigualdad se verifica trivialmente, dado que {b}^{a}\eq=+\infty pues a>0. Lo mismo con a):
d\leq {b}^{a}
d\geq {b}^{a}
Sabés que {b}_{n}<b+\epsilon para n\geq N. Luego, tenés que {b}_{n}\leq b para n\geq N. De manera análoga, tenés que {a}_{n}<a+\epsilon para n\geq N'(N,N' son naturales para los que valen tales desigualdades, que existen por propiedad del límite superior, la propiedad que dijiste, la primera). Luego,
{b}_{n}\leq b,\, {a}_{n}\leq a\implies {{b}_{n}}^{{a}_{n}}\leq {b}^{a} para n\geq \max \{N,N'\} (1)
(estás usando que {b}_{n}\geq 0 porque sino no tendría necesariamente sentido lo escrito y {a}_{n},a>0 porque en otro caso podrías estar inviertiendo, dándose se vuelta la desigualdad, o estar haciendo {0}^{0}. Y más razones, pero espero que se entienda que vale ese paso por esas hipótesis)
Por (1), tenés inmediatamente limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d\leq {b}^{a}.
Para la otra desigualdad, apenas vas a tener que ensuciarte más. En efecto, probaste que vale d\leq {b}^{a}. Considerá:
{{b}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}\cdot {a}_{n}}\eq={({{b}_{n}}^{{a}_{n}})}^{\frac{1}{{a}_{n}}}\eq={b}_{n}(esto vale porque {a}_{n}>0). Si tomás {c}_{n}\eq={{b}_{n}}^{{a}_{n}}, tenés la sucesión {{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}} que está en las hipótesis del problema. Por (1), tenés:
limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}})\leq {c}^{\frac{1}{a}}, donde limsup (\frac{1}{{a}_{n}})\eq=\frac{1}{a}(es el primero de los ejercicios que pusiste del que se deduce esto)
Pero {{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}\eq={b}_{n} como dijimos antes, y c\eq=limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq=d. Luego:
limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}})\eq=limsup {b}_{n}\eq=b\leq {c}^{\frac{1}{a}}\eq={d}^{\frac{1}{a}
b\leq {d}^{\frac{1}{a}}\iff {b}^{a}\leq d
Y esta es la desigualdad que faltaba, teniéndose limsup ({{b}_{n}}^{{a}_{n}})\eq={b}^{a}, como queríamos ver.

Espero que se haya entendido. Saludos.



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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 01 Jun 2009, 21:58 
Estudiante

Registrado: 30 Jul 2008, 15:13
Mensajes: 26
si, era eso lo que quería poner. Gracias por la respuesta loco, me sirvio mucho tambien para darme cuenta que le tengo que dar mas bola a las desigualdades para mostrar que son iguales dos cosas, es clave.

Edit:
Hay una sola cosa que no me queda clara, lo sabía pero no se bien por q es, y es la siguiente:
Vos decís que si
(\forall\epsilon>0)(\exists k\in\mathbb{N})(\forall n\geq k)  {a}_{n}<a+\epsilon \implies {a}_{n} \leq a
Entiendo que como es \forall \epsilon > 0, entonces podes tomar límite de \epsilon tendiendo a 0, pero no veo por que ese paso te cambia la desigualdad estricta en un menor igual. De nuevo gracias.


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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 01 Jun 2009, 22:56 
Estudiante

Registrado: 30 Jul 2008, 15:13
Mensajes: 26
otra cuestion, no entiendo bien por que si:
\limsup_{n\rightarrow\infty} {{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}= \limsup_{n\rightarrow\infty} {b}_{n}
y \limsup_{n\rightarrow\infty} {b}_{n}=b
y \limsup_{n\rightarrow\infty} {{c}_{n}}=c
y \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{1}{a}
por lo tanto \limsup_{n\rightarrow\infty} {{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}}= {c}^{\frac{1}{a}}
\implies b\leq {c}^{\frac{1}{a}}
¿No debería ser b={c}^{\frac{1}{a}}?

si es así igual ya lo tenés por que \implies c={b}^{\frac{1}{a}}, que es lo que queríamos probar.


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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 01 Jun 2009, 23:04 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Sabés que si tomás límite {a}_{n}<{b}_{n} te cambia a a\leq b.
En este caso, para cada {\epsilon}_{k}\eq=\frac{1}{k} existe {N}_{k} tal que {a}_{{N}_{k}}<a+\frac{1}{k}. En particular, podés elegir los {N}_{1}<{N}_{2}<\cdots <{N}_{k}<{N}_{k+1}\cdots. Luego, tenés una subsucesión {a}_{{N}_{k}} que verifica {a}_{{N}_{k}}<a+\frac{1}{k}. Tomando límite superior, te queda:
limsup ({a}_{{N}_{k}})\leq a
En particular, pueden elegirse esos {N}_{k} de manera tal que la subsucesión que te quede tenga límite y sea el límite superior de {a}_{n}(recordá que el límite superior verifica que existe una subsucesión que converge a tal valor) De acá sacás tal desigualdad
Si no se termina de entender, avisá



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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 01 Jun 2009, 23:07 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
No vale eso, porque justamente querés probar que limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}})\eq={c}^{\frac{1}{a}}. Lo que sabés es que limsup ({{c}_{n}}^{\frac{1}{{a}_{n}}})\leq {c}^{\frac{1}{a}}.



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 Asunto: Re: ej 8
NotaPublicado: 02 Jun 2009, 00:43 
Estudiante

Registrado: 30 Jul 2008, 15:13
Mensajes: 26
Ahhh q gilastrun q fui, tenés razón, gracias por la aclaración esa, y por la explicación anterior. Nunca me lo habían mostrado, buena onda.


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