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 Asunto: Resumen de álgebra lineal, parte I
NotaPublicado: 18 Oct 2008, 03:31 
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La idea del siguiente post es dar una lista de definiciones y propiedades útiles a la hora de resolver un dado ejercicio teórico-práctico. Esta primera parte cubre la práctica I. Además, el resumen está basado en las clases teóricas de Gabriela Jerónimo y en resultados expuestos en las prácticas. Ahora, sin más interrupciones, el resumen:

Definición: sea (K,+,\cdot) un cuerpo, V conjunto no vacío, + una operación en V y \cdot una acción de K en V. Se dice que (V,+,\cdot) es un K-espacio vectorial si:
i)(V,+) es un grupo abeliano
ii) La acción \cdot :K\times V\rightarrow V cumple
a- a\cdot (v+w)\eq=a\cdot v+a\cdot w,\forall a\in K,\forall v,w\in V
b- (a+b)\cdot v\eq=a\cdot v+b\cdot v,\forall a,b\in K,\forall v\in V
c- 1\cdot v\eq=v,\forall v\in V
d- (a\cdot b)\cdot v\eq=a(b\cdot v),\forall a,b\in K,\forall v\in V

Los elementos de V se llaman vectores y los de K se llaman escalares. La acción \cdot: K\times V\rightarrow V se llama producto por un escalar.

Para todo V, un K-espacio vectorial, se verifica:

-k\cdot \overline{0}\eq=0,\forall k\in K
-0\cdot v\eq=0,\forall v\in V
-k\cdot v\eq=0\iff k\eq=0\lor v\eq=0
--(-v)\eq=v,\forall v\in V
--\overline{0}\eq=\overline{0}

Definición: Sea (V,+,\cdot) un K-espacio vectorial. Un subconjunto S\subseteq V no vacío es un subespacio de V si la suma + y el producto por escalares \cdot son una operación en S y una acción de K en S que lo convierten en un espacio vectorial.


Propiedad: Sea V un K-espacio vectorial, y S\subseteq V. Luego, S es un subespacio de V si y sólo si:
i) 0\in S
ii) v,w\in S\implies v+w\in S
iii) k\in K,\;v\in S\implies k\cdot v\in S

Propiedad: sean S,T\subseteq V, donde V es un K-espacio vectorial, y S,T subespacios vectoriales de V. Entonces S \cap T es un subespacio vectorial de V

Propiedad: sean S,T\subseteq V,, donde V es un K-espacio vectorial, y S,T subespacios vectoriales de V. Entonces S \cup T es un subespacio vectorial de V\iff T\subseteq S\lor S\subseteq T.

Definición: sea V un K-espacio vectorial, I un conjunto de índices, G\eq=\{{v}_{i}:i\in I\}. Una combinación lineal de G es un elemento de v\in V tal que v\eq=\sum_{i\in I}{\alpha}_{i}\cdot {v}_{i},\;{\alpha}_{i}\in K,\;{\alpha}_{i}\eq=0 salvo para finitos i\in I

Definición: sea V un K-espacio vectorial, G\subseteq V, se dice que G es un sistema de generadores si todo elemento de V es una combinación lineal de G, y se nota V\eq=\left \langle G \right \rangle.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, y S\subseteq V, subespacio. Sea \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\}\subseteq V. Entonces vale \left \langle {v}_{1},\cdots , {v}_{r}\right \rangle \subseteq S\iff {v}_{i}\in S,\forall 1\leq i\leq r

Corolario: Sea V un K-espacio vectorial, y sea \{{v}_{1},\cdots , {v}_{n},{v}_{n+1}\}\subseteq V. Entonces \left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n},{v}_{n+1}\right \rangle \eq=\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle \iff {v}_{n+1}\in \left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, {v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in V,\alpha \in K-\{0\},\beta\in K.

i)\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \right \rangle \eq= \left \langle {v}_{1},\cdots , {v}_{j},\cdots {v}_{i},\cdots , {v}_{n} \right \rangle (o sea, el orden de los vectores no varía el subespacio generado).
ii)\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle \eq=\left \langle {v}_{1},\cdots \alpha {v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\right \rangle.
iii)\left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots {v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \right \rangle\eq= \left \langle {v}_{1},\cdots ,{v}_{i}+\beta \cdot {v}_{j},\cdots ,{v}_{j}, \cdots ,{v}_{n} \right \rangle


Definición: Sea V un K-espacio vectorial, y sea \{{v}_{i}\}_{i\in I} una familia de vectores de V. Se dice que \{{v}_{i}\}_{i\in I\} es linealmente independiente(l.i) si se verifica \sum_{i\in I}{\alpha}_{i}{v}_{i}\eq=0,{\alpha}_{i}\in K\implies {\alpha}_{i}\eq=0,\forall i\in I.

Si \{{v}_{i}\}_{i\in I\} no es linealmente independiente, decimos que es linealmente dependiente(l.d)

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, y {v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\in V. Entonces \{{v}_{i}\}_{1\leq i\leq n} es l.i \iff \left \langle{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\right \langle \supset \left \langle {v}_{1},\cdots {v}_{i-1},{v}_{i+1},\cdots , {v}_{n}\right \rangle ,\forall i(saco el i-ésimo vector del conjunto, en el orden dado).

Propiedad: sean {v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in \mathbb{R}^{n}. El conjunto \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\} es linealmente independiente sobre \mathbbb{R}\iff \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\} es linealmente independiente sobre \mathbb{C}

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, {v}_{1},\cdots , {v}_{n}\in V,\alpha \in K-\{0\},\beta\in K.

i)\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \\} es l.i \iff  \{ {v}_{1},\cdots , {v}_{j},\cdots {v}_{i},\cdots , {v}_{n} \} es l.i (o sea, el orden de los vectores no varía la independencia lineal).
ii)\{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\} es l.i \iff \{ {v}_{1},\cdots \alpha {v}_{i},\cdots ,{v}_{n}\} es l.i.
iii)\{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i},\cdots {v}_{j},\cdots ,{v}_{n} \} es l.i \iff \{ {v}_{1},\cdots ,{v}_{i}+\beta \cdot {v}_{j},\cdots ,{v}_{j}, \cdots ,{v}_{n} \} es l.i

Propiedad: si tenemos \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\} \in {K}^{n}, podemos construir la matriz M\in {K}^{r\times n} que tiene a los {v}_{i} por filas, \begin{pmatrix} {v}_{1}\\ {v}_{2} \\ \vdots \\ {v}_{r}\end{pmatrix}, luego triangularla completamente hasta obtener una matriz M'\eq= \begin{pmatrix} {v'}_{1}\\ {v'}_{2}\\ \vdots \\ {v'}_{r}\end{pmatrix}, y \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\} será l.d \iff M' tiene al menos una fila nula.

Definición: sea V un K-espacio vectorial. Una familia \{{v}_{i}\}_{i\in I} es una base de V si \{{v}_{i}\}_{i\in I} es linealmente independiente y {\left \langle {v}_{i} \right \rangle }_{i\in I}\eq=V.

Para espacios vectoriales V, como {K}^{n}, una base usual y úitl para considerar es la base canónica, E\eq=\{{e}_{1},\cdots ,{e}_{n}\}, donde {e}_{i}\eq=(\underbrace{0,\cdots ,1}_{i},0,\cdots ,0). De manera análoga, se definen las bases para {K}^{n\times n}, y para {K}_{n}[X], para esta última, particularmente, E\eq=\{1,X,{X}^{2},\cdots ,{X}^{n}\}. La base canónica suele notarse con la letra mayúscula E. En otros casos, se usará la letra B para notar una base.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial finitamente generado. Luego, existe una base B de V.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial finitamente generado. Luego, si B\eq=\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\},B'\eq=\{{v'}_{1},\cdots ,{v'}_{m}\} son bases de V, la cantidad de elementos de ambas son iguales, o sea, n\eq=m.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, de dimensión finita. Sea \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\} base de V. Entonces para cada v\in V, existen únicos escalares {\alpha}_{1},\cdots ,{\alpha}_{n}\in K tal que v\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{\alpha}_{i}\cdot{v}_{i}.

Definición: sea S\subseteq V, un subespacio vectorial de V, un K-espacio vectorial. Si B\eq=\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{r}\} es una base de S, definimos la dimensión de S en K, y la notamos {dim}_{K}(S), al cardinal de B. En este caso, {dim}_{K}(S)\eq=r. Cuando se de por conocido K, simplemente notaremos dim(S).

Diremos que un espacio vectorial V tiene dimensión finita si la base de B tiene cardinal infinito, o sea, dim(S)\eq=r\in \mathbb{N}.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, de dimensión finita.

i) Sea \{{v}_{1},\dots ,{v}_{s}\} un sistema de generadores de V. Entonces, existe B\subseteq \{{v}_{1},\cdots ,{v}_{s}\} tal que B es base de V.
ii) Sea \{{w}_{1},\cdots ,{w}_{s}\} un conjunto l.i de V. Entonces, existe \{{w}_{s+1},\cdots ,{w}_{n}\} tal que \{{w}_{|},\cdots ,{w}_{s},{w}_{s+1},\cdots ,{w}_{n}\} es base de V.

Propiedad: sean S,T\subseteq V, subespacios, y V un K-espacio vectorial, de dimensión finita. Entonces se verifican:
i)S\subseteq T\implies dim(S)\leq dim(T)
ii)S\subseteq T,\;dim(S)\eq=dim(T)\implies S\eq=T

Definición: sea V un K-espacio vectorial, S,T subespacios de V. Se llama suma de S y T a S+T\eq=\{v\in V:v\eq=s+t,s\in S,t\in T\}

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, S,T subespacios de V. Valen:
i)S+T es un subespacio de V.
ii)Si \{{v}_{i}\}_{i\in I},\;\{{w}_{j}\}_{j\in J} sistemas de generadores de S,\;T respectivamente. Entonces \{{v}_{i}\}_{i\in I} \cup \{{w}_{j}\}_{j\in J} es sistema de generadores de S+T

Propiedad(Teorema de la dimensión para la suma de subespacios): sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y S,T\subseteq V subespacios de V. Entonces se verifica dim(S+T)\eq=dim(S)+dim(T)-dim(S \cap T).

Definición: sea V un K-espacio vectorial, S,T\subseteq V, subespacios. Decimos que V es suma directa de S y T, y lo notamos S\oplus T\eq=V, si se verifica:
i)S+T\eq=V
ii)S \cap T\eq=\{0\}

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, S,T\subseteq V, subespacios, y S\oplus T\eq=V. Sean {B}_{S},{B}_{T} bases de S,T respectivamente. Entonces {B}_{S} \cup {B}_{T} es base de S\oplus T.

Propiedad: sea V un K-espacio vectorial, S,T\subseteq V, subespacios, y S\oplus T\eq=V. Entonces, para cada v\in Vexisten únicos s\in S,t\in T tales que v\eq=s+t.

Definición: sea V un K-espacio vectorial, S\subseteq V, subespacio. Decimos que T es un complemento de S en V si S\oplus T\eq=V. Para construir un complemento de un subespacio S, basta tomar una base de S, y extenderla a una base de V, y luego, formar la base del complemento a partir de los vectores agregados.

Bueno, espero que esta primera parte ayude... si bien tuve que haber estado antes del primer parcial... saludos.



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