A ver si esto está bien o mandé fruta...
_gaston_ escribió:
Resolución
Sea

por hipótesis. Por definición de límite, tiene que existir un

tal que

Pero entonces
)
, que es un intervalo abierto que no contiene a

. Por lo tanto

, como queríamos.
_gaston_ escribió:
Resolución

) Elegimos arbitrariamente

y

y consideramos
 - \varepsilon)
. Tenemos que

, pues

. Como además por hipótesis

es abierto, existe

tal que
 \subset A_{\lambda})
. Pero entonces tenemos que para todos

y

existe un

tal que si

entonces
 > f(a) - \varepsilon)
, como queríamos.

) Supongamos que existe algún

tal que

no es abierto. Entonces existe

tal que
 > \lambda)
pero cualquiera sea

hay un

en
)
tal que
 \leq \lambda)
. Por otra parte sabemos que cualquiera sea

existe

tal que
 \Rightarrow f(y) > f(x) - \varepsilon)
. Pero como
 > \lambda)
, podemos tomar el

lo suficienemente chico para que
 - \varepsilon > \lambda)
, y llegamos a una contradicción.
_gaston_ escribió:
 Sean A,B $\subset \mathbb{R}$ abiertos, acotados y no vacios tales que $\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing)
:=inf\{|a-b|: a \in A, b \in B \}>0)
Resolución
Es claro que el ínfimo en cuestión existe, ya que

y

son ambos acotados y no vacíos, luego el conjunto de los

también lo es. Además, como este conjunto tiene sólo números no negativos, se tiene que el ínfimo también es no negativo. Luego, para probar que es positivo como nos piden, basta suponer que es igual a 0 y llegar a una contradicción.
En efecto, si el ínfimo fuera 0, en particular tendría que ocurrir que para todo

existan

y

tales que

.
La sucesión

es acotada, luego, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, contiene una subsucesión convergente

. Sea

el límite de esta sucesión. Afirmo que la sucesión

también es convergente y tiende a

. En efecto,

por desigualdad triangular, y ambos miembros en el lado derecho tienden a 0 cuando

tiende a infinito. Bueno pero entonces tenemos un punto

que es límite de una sucesión de puntos de

y también es límite de una sucesión de puntos de

, por lo tanto pertenece a la clausura de ambos. Pero por hipótesis la intersección de sus clausuras era vacía, ABSURDO!