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Final 22/02/2013
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Autor:  Gisela [ 22 Feb 2013, 21:47 ]
Asunto:  Final 22/02/2013

Recién salidito del horno... Tantas veces que usé este foro, me parece bien aportar algo (por no decir que ya era hora :P ).

1. 25 ptos.
a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Tchebichev.
b) Enuncie y demuestre la Ley de los Grandes Números.
c) Sea X_1, ... , X_n una muestra aleatoria de variables aleatorias Bernoulli tales que P(X_i=1)=p y P(X_i=0)=1-p, siendo p\in (0,1) un valor desconocido. Sean S_n = X_1 + ... + X_n y t>0. ¿Cuán grande debe ser n para que P(|\frac{S_n}{ n} - p| \geq t)\leq 0,001 independiente del valor de p (desconocido)?

2. 20 ptos. Sean X_1, ...,X_n v.a.i.i.d con distribución Poisson de parámetro \lambda.
a) Halle el estimador de máxima verosimilitud de \lambda.
b) Halle el estimador de máxima verosimilitud de P(X=0).

3. 25 ptos. Juan y Pinchame combinan para encontrarse en el río entre las 14 y las 15 horas, dando por entendido que ninguno esperará al otro más de 15 minutos. Asumir que iguales intervalos de tiempo tienen asignados iguales probabilidades de llegada y que ambos actúan de forma independiente.
a) Halle la probabilidad de que Juan llegue antes que Pinchame.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y Pinchame se encuentren?

4) 30 ptos. Sean X_1, ..., X_n v.a.i.i.d. con distribución N(\mu,\sigma_0^2) con \sigma_0^2 conocida.
a) Halle el estimador de máxima verosimilitud de \mu. Llame \hat{\mu} al estimador obtenido. ¿Cuál es la distribución de \hat{\mu}? Justifique.
b) Suponga que se desea realizar un test de hipótesis para testear H_0:\mu=\mu_0 vs H_1:\mu > \mu_0. Proponga un test de nivel exacto \alpha para decidir entre las dos hipótesis y muestre que el test propuesto tiene el nivel deseado.
c) Sea \mu_1 > \mu_0 un valor fijo. Calcule la probabilidad de no rechazar H_0 cuando en realidad \mu=\mu_1 y exprésela en términos de alguna función de distribución conocida.
d) ¿Cuál es el límite de la probabilidad calculada en c) cuando \mu_1 \rightarrow \infty?

FIN. :)

Autor:  CaTo [ 25 Feb 2013, 20:17 ]
Asunto:  Re: Final 22/02/2013

Buenas. Estoy preparando el final para la ultima fecha y tengo algunas dudas.
Me desoriento el ejercicio 2.b, no entiendo que es lo que hay que estimar. No se estimaban parametros de una distribucion?

Por otro lado, el ejercicio 3, alguno tiene idea de como encararlo? Acaso son el momento de llegada de Juan y Pinchame variables de distribucion
exponencial?

Se agradece cualquier ayuda!

Autor:  Mauricio [ 25 Feb 2013, 22:50 ]
Asunto:  Re: Final 22/02/2013

CaTo escribió:
Buenas. Estoy preparando el final para la ultima fecha y tengo algunas dudas.
Me desoriento el ejercicio 2.b, no entiendo que es lo que hay que estimar. No se estimaban parametros de una distribucion?


Si reemplazás x por 0 en la función de probabilidad de Poisson te queda e^{-\lambda}. Si lo vés como una función y usás la propiedad de invarianza de los EMV te queda que el estimador de esa función es reemplazar \lambda por el estimador de \lambda. Al menos eso hice yo, pero todavía no lo corrigieron así que no estoy seguro que esté bien.

CaTo escribió:
Por otro lado, el ejercicio 3, alguno tiene idea de como encararlo? Acaso son el momento de llegada de Juan y Pinchame variables de distribucion
exponencial?
Se agradece cualquier ayuda!

Yo entiendo que tienen distribución uniforme entre las 14 y 15. Está resuelto en la cuba wiki: http://www.cubawiki.com.ar/index.php?title=Probabilidades_y_Estad%C3%ADstica (es el del 27/12/05 pero no tiene nota, así que no hay seguridad de que esté bien).

Autor:  atticus [ 30 May 2013, 19:51 ]
Asunto:  Re: Final 22/02/2013

Buenas noches Gisela, te hago una consulta aprovechando que rendiste el final hace poco. Qué te dejan tener para rendir el final? Lo mismo que podías tener para rendir los parciales? Lo que está en la página de la materia? Muchas gracias! Saludos.

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