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 Asunto: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 15 Dic 2014, 21:32 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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Sea f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} de clase C1 y supongamos que existe x_0\in\mathbb{R}^2 tal que f(x_0)=0 y \nabla f (x_0)\neq 0.
Demostrar que f tiene infinitos ceros.



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Quimey
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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 16 Dic 2014, 11:01 
Ayudante de Primera

Registrado: 28 Jul 2009, 13:28
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Ni idea :P


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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 16 Dic 2014, 11:32 
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Registrado: 13 Abr 2010, 23:16
Mensajes: 290
Creo yo que la cosa viene por acá...
Resolución
Es sólo una idea... pero si tuviera finitos ceros entonces serían aislados. Luego usando el teorema de la función implicita (muy parecido a un ejercicio típico de final) concluiríamos que f debe ser toda positiva o bien toda negativa. Luego x_0 sería un mínimo/máximo absoluto pero eso no puede pasar pues el gradiente en ese punto es distinto de cero. Como la función es C^1 por el teorema de Lagrange la función en una bola de radio sufcientemente pequeño toma tanto valores positivos como negativos. Absurdo entonces tiene infinitos ceros. Obviamente hay que ultimar los detalles :D



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A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;
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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 17 Dic 2014, 01:46 
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Registrado: 17 Dic 2014, 01:44
Mensajes: 1
Sale aplicando Teorema de la Funcion implícita


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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 17 Dic 2014, 14:02 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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Pista:
Resolución
Hay varios que están tentados a usar el teorema de la función implícita. Se puede hacer de esa manera pero requiere una justificación cuidadosa. También se puede hacer usando menos tecnología. Por ejemplo usando un teorema nombrado en honor a un monje checo.



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Quimey
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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 19 Dic 2014, 00:46 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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Primera solución (usando el teorema de Bolzano):
Resolución
Supongamos que la cantidad de ceros de f es finita. Vamos a probar que f nunca cambia de signo (en particular es siempre \geq 0 o es siempre \leq 0. En este caso cada uno de los ceros es un extremo y por lo tanto el gradiente se anula en ellos. Esto contradice nuestras hipótesis, la contradicción surge de suponer que la cantidad de ceros de f es finita y por lo tanto no puede ser este el caso.

Demostración de la afirmación:
Supongamos que f cambia de signo, entonces existen x,y\in\mathbb{R}^2 tal que f(x)>0 y f(y)< 0.
Elijamos una curva continua \gamma: [0,1]\to\mathbb{R}^2 tal que \gamma(0)=x, \gamma(1)=y y f(\gamma(t))\neq 0 para todo t (notar que aca estamos usando la hipótesis de que hay finitos ceros; queda como ejercicio demostrar que esto se puede hacer).

Sabemos que f y \gamma son continuas y por lo tanto f\circ\gamma es continua pero f\circ\gamma(0)=f(x)>0, f\circ\gamma(1)=f(y)<0 y f\circ\gamma(t)\neq0. Esto contradice el Teorema de Bolzano, por lo tanto nuestra suposición de que f cambia de signo tiene que ser falsa como queríamos ver.

Postdata: No hay que tenerle miedo a las demostraciones por el absurdo :P



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Quimey
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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 19 Dic 2014, 00:57 
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Registrado: 15 Dic 2014, 21:11
Mensajes: 4
Aprovecho para contarles que voy a estar manteniendo esta (y otras) secciones del foro con Quimey. Haciendo eco de algunas soluciones propuestas, doy una solución usando un poco de tecnología. La idea, esencialmente, es que si nuestra función se anula en un punto, debe de hecho anularse sobre un segmento de curva. Vamos a formalizar esto. Sea f:{\bf R}^2\to{\bf R} en cuestión, y supongamos que f(x_0,y_0)=0. Por hipótesis, \nabla f(x_0,y_0) no se anula: podemos asumir que no se anula la primera coordenada, es decir que D_1f(x_0,y_0)\neq 0. Si consideramos la ecuación f(x,y)=0, podemos usar el teorema de la función inversa para obtener una funcion g:\Bbb R\to\Bbb R y un entorno I=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) tal que se cumple la ecuación f(x,g(x))=0 para cada x en ese entorno. Por el teorema g es continua (de hecho es C^1) asi que (I,g(I)) pasa a ser un camino (con infinitos puntos distintos, en vista de la primer coordenada inyectiva) donde f se anula.

Observen que esto se generaliza a cualquier función f:{\bf R}^n\to {\bf R}: den un argumento de porque puede reducirse al caso n=2! En la solución de Quimey, estamos usando que el plano Euclídeo menos finitos puntos es arcoconexo (de hecho pueden tomarse arcos poligonales). Como yapa para el fin de semana, dejo el siguiente ejercicio: ver que el complemento de \bf Q\times\bf Q en \bf R\times\bf R tiene la propiedad de que cualesquiera dos puntos pueden conectarse por una sucesión finita de segmentos rectos.


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 Asunto: Re: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I
NotaPublicado: 21 Dic 2014, 02:54 
Vago

Registrado: 16 Mar 2010, 12:50
Mensajes: 19
Obviamente esto no es en esencia distinto a lo que ya dijeron, pero quería hacer un comentario.
El approach de Quimey funciona porque uno siempre puede hacer que la curva que conecta x e y "esquive" todos los ceros de f, pues éstos son finitos. Este hecho es intuitivamente obvio, pero puede pasar que escribir una demostración formal y correcta del mismo no resulte tan simple, sobre todo para los que recién empiezan. (Igual piénsenlo!)
Una manera de evitar usar esto es la siguiente.

Resolución
Si f tiene finitos ceros, entonces existe un r>0 tal que la bola B de centro x_0 y radio r no contiene ningún otro cero de f además de x_0. (Me fijo, de todos los otros ceros de f, cuál es el que está más cerca de x_0, y tomo r igual a esa distancia mínima.) Ahora hago Bolzano como Quimey pero adentro de la bola B y llego al mismo absurdo (o sea que f es \geq 0 o \leq 0 en B y por lo tanto x_0 es un extremo local, pero no puede ser porque el gradiente no se anula). En definitiva, lo que hice fue cambiar "dados x e y en \mathbb{R}^2, los puedo conectar con una curva que no pase por ninguno de los finitos ceros de f" por "dados x e y en una bola B, los puedo conectar por una curva que no pase por el centro de B". Un hecho igual de obvio pero seguramente más fácil de demostrar.


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