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 Asunto: [26/02/2015] Análisis I
NotaPublicado: 26 Feb 2015, 14:42 
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Sea f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una función (no necesariamente continua) tal que f(0,0)=0
Decidir verdadero o falso (y dar demostración o contraejemplo):
  • Si por toda curva \gamma se tiene que \lim_{t\to 0} f\circ\gamma(t) = 0 entonces \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0
  • Si \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0 entonces por toda curva \gamma se tiene que \lim_{t\to 0} f\circ\gamma(t) = 0

Aclaración: Todas las curvas son continuas.
EDIT: y siempre \gamma(0)=(0,0)



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Quimey
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 Asunto: Re: [26/02/2015] Análisis I
NotaPublicado: 27 Feb 2015, 23:58 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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Más items:
  • Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que 0 es el único mínimo relativo de f, entonces es un mínimo absoluto.
  • Sea f:[-1,1]\to \mathbb{R} tal que 0 es el único mínimo relativo de f, entonces es un mínimo absoluto.
  • Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que f es discontinua en x para todo x\neq 0, entonces f es discontinua en 0.
  • Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que f es no-derivable en x para todo x\neq 0, entonces f es no-derivable en 0.
  • Sea f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} tal que f es discontinua en x para todo x\neq (0,0), entonces f es discontinua en (0,0).



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Quimey
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 Asunto: Re: [26/02/2015] Análisis I
NotaPublicado: 05 Mar 2015, 23:49 
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Registrado: 23 May 2008, 10:26
Mensajes: 394
Para el primero...

Resolución
Supongamos que \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \neq 0. Eso quiere decir que existen puntos (x,y) muy cerca de (0,0) tal que f(x, y) se mantiene lejos del cero. Dicho más formalmente, existe un \varepsilon > 0 tal que, si me fijo en la bola de centro (0,0) y radio 1/n voy a encontrar un punto p_n con |f(p_n)| > \varepsilon. Considero la curva \gamma que une todos esos puntos. Ahora alcanza con probar que \gamma \to (0,0) pero f \circ \gamma no tiende a 0, queda de tarea.


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