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 Asunto: [Resuelto] 2010 1C - 1er Parcial
NotaPublicado: 23 May 2010, 23:07 
Estudiante

Registrado: 30 Ene 2009, 00:35
Mensajes: 24
Problema 1: Considere la región limitada por dos semiplanos que se intersectan a lo largo del eje z formando un ángulo \alpha entre 0 y 2\pi. En cilindricas, 0\leq \rho < \infty,-\infty < z < \infty, 0 \leq \varphi \leq \alpha

a) Encuentre la función de Green G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z') para el problema de Dirichlet en esta región.

b) A partir del resultado anterior, escriba su solución para el caso \alpha = \pi.

c) Usando la función de Green para todo el espacio y el método de imágenes escriba la función de Green del problema de Dirichlet para el semiespacio y \geq 0

d)Muestre que las expresiones del ítem b) y c) son idénticas.

Resolución
a)

La función de Green G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z') es el potencial producido por una carga puntual q=1 en (\rho',\varphi',z'). La parte angular va entre 0-\alpha y se anula en esos planos (problema de Dirichlet), entonces uso \sin\big( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\big). La región la divido en dos con el plano z=z'. En la parte inferior -\infty < z < z' y para que no diverga la solución van e^{k(z-z')}; en la parte superior z'<z<+\infty y para que no diverga uso e^{-k(z-z')}. Esta elección obliga a usar \{ J_{\nu},N_{\nu} \} para la parte radial, pero como el eje z está inculido en la región, las N_{\nu} no apareceran en el desarrollo. La solución general queda:

\Phi_{I}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{k(z-z')}
\Phi_{II}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk B_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k(z-z')}

Las condiciones de borde son la continuidad y el salto en la derivada por la presencia de la carga en el plano z=z':

\Phi_{I} (z')= \Phi_{II} (z')
\partial_{z} \Phi_{I}  - \partial_{z} \Phi_{II} \big|_{z'}= 4 \pi \sigma

la primera ecuación, por la ortogonalidad de la base del desarrollo implica que A_{nk}=B_{nk} y por lo tanto el potencial se escribe, para las dos regiones, como:

\Phi=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k|z-z'|}

Para el salto de la derivada escribo la densidad superficial como desarrollo en serie de Fourier-Bessel:

\sigma(\rho,\varphi)=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk \hat \sigma _{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)

donde \sigma(\rho,\varphi)=q\frac{ \delta (\rho - \rho') \delta( \varphi - \varphi')}{\rho} (si integro obtengo la carga) y su transformada es

\hat \sigma _{nk} =q \frac{2k}{\alpha}  \int_{0}^{\alpha}d\varphi  \int_{0}^{\infty} \rho d\rho J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)\frac{ \delta (\rho - \rho') \delta( \varphi - \varphi')}{\rho} = q \frac{2k}{\alpha}J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho') \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)

mientras que el salto es

\partial_{z} \Phi_{I}  - \partial_{z} \Phi_{II} \big|_{z'}=  \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk 2k A_{nk} J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho) \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg)

igualando los coeficientes se obtiene A_{nk}:

A_{nk}=q \frac{4\pi}{\alpha}J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho') \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)

haciendo q=1 se obtiene la función de Green para el problema de Dirichlet en la región:

G_{\alpha}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=\frac{4\pi}{\alpha}\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho')J_{ \frac{n \pi}{\alpha}}(k\rho)  \sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi' \bigg)\sin\bigg( \frac{n \pi}{\alpha} \varphi\bigg) e^{-k|z-z'|}


b)

En el caso particular \alpha=\pi solo remplazo en la fórmula anterior y se obtiene

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=4\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dk J_{ n}(k\rho')J_{ n}(k\rho)  \sin( n \varphi' )\sin( n \varphi ) e^{-k|z-z'|}

c)

La función de Green para todo el espacio es

G(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')= \int_{0}^{\infty} dk\bigg[  J_{0}(k\rho')J_{0}(k\rho) + 2\sum_{\nu>0}  J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho)\cos \nu ( \varphi-\varphi')\bigg] e^{-k|z-z'|}

La solución para el problema de Dirichlet de un plano en y=0 para y>0 coincide con el potencial producido por una carga q=1 en (x',y',z')=(\rho',\varphi',z') superpuesto con una carga -q en (x',-y',z')=(\rho',-\varphi',z'):

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=G(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')-G(\rho,\varphi,z;\rho',-\varphi',z')

Al sumar las dos contribuciones el término con \nu=0 se anula y queda

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=2\sum_{\nu>0} \int_{0}^{\infty} dk J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho)  \bigg\{ \cos \nu(\varphi-\varphi')-\cos \nu(\varphi+\varphi')\bigg\} e^{-k|z-z'|}

en esta expresión se observa que si se calcula en \varphi=0,\alpha la resta de cosenos se anula y se cumple la condición \Phi_{y=0}=0.


d)

Para demostrarlo primero desarrollo los cosenos de la suma de ángulos

\cos \nu(\varphi- \varphi' )= \cos \nu \varphi \cos \nu \varphi'+ \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'
\cos \nu  (\varphi+\varphi' )= \cos \nu \varphi \cos \nu \varphi' - \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'

Por lo tanto, el término del corchete es

\cos \nu(\varphi- \varphi' )-\cos \nu(\varphi+ \varphi' ) = 2 \sin \nu \varphi \sin \nu \varphi'

y reemplazando en la función de Green obtenida por imágenes se llega a la expresión

G_{\pi}(\rho,\varphi,z;\rho',\varphi',z')=4\sum_{\nu>0} \int_{0}^{\infty} dk J_{\nu}(k\rho')J_{\nu}(k\rho)   \sin (\nu \varphi) \sin (\nu \varphi') e^{-k|z-z'|}

que claramente coincide con la solución obtenida por separacion de variables.


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 Asunto: Re: [Resuelto] 2010 1C - 1er Parcial
NotaPublicado: 26 Sep 2010, 22:12 
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Mensajes: 380
como te quiero en este momento :p

ahora, yo tengo una pregunta. cuando \nu no es entero, la base no son las {{J}_{\nu},{J}_{- \nu}}? o uno puede seguir asumiendo que las {K}_{\nu} son l.i. y seguirlas usando, para usar que uno sabe que divergen en el 0, por ej.

bueno si alguien me contesta esa mini duda estaría bueno :p



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