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 Asunto: Parcial de Lógica - Verano 2015
NotaPublicado: 17 Mar 2015, 14:38 
Ayudante de Segunda

Registrado: 04 Ago 2011, 13:11
Mensajes: 51
Ejercicio 1. Un conjunto de fórmulas proposicionales \Gamma se dice independiente si y sólo si para toda \phi \in \Gamma sucede que \Gamma - \{\phi\} \nvdash \phi.
Demostrar que \Gamma es independiente si y sólo si todo subconjunto finito de \Gamma es independiente.

Ejercicio 2. Se dice que una función tiene un valor infinitamente alcanzable si existe un elementeo e de la imagen de f tal que el conjunto \{x : f(x) = e \} es infinito.
Mostrar que no es expresable en primer orden la proposición "f tiene un valor infinitamente alcanzable".

Ejercicio 3. Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y justificar.

i) Si \Gamma es un conjunto insatisfacible de fórmulas proposicionales, entonces \Gamma' = \{ \neg \alpha : \alpha \in \Gamma \} es satisfacible.

ii) Si \Gamma es un conjunto insatisfacible de fórmulas proposicionales tal que \Gamma' = \{ \neg \alpha : \alpha \in \Gamma \} es satisfacible, entonces en \Gamma hay al menos una contradicción.

Ejercicio 4. Sea \mathcal{N} = \langle \mathbb{N};0_{\mathbb{N}};\leq_{\mathbb{N}} \rangle el modelo usual de los números naturales con la constante cero y la relación "es menor igual a". Considerar un lenguaje de primer orden con igualdad \mathcal{L} con un símbolo de constante 0 y un símbolo de predicado \leq. Sea la siguiente axiomatización SQ_{\mathcal{N}} que extiende SQ con los siguientes axiomas:

S1 (\forall x) (0 \leq x)
S2 (\forall x) (x \leq x)
S3 (\forall x) (\forall y) (\forall z) ((x \leq y \wedge y \leq z ) \rightarrow x \leq z)
S4 (\forall x) (\forall y) ((x \leq y \wedge y \leq x)  \rightarrow x = y)
S5 (\forall x) (\exists y) (\neg (x = y) \wedge x \leq y)

a) Demostrar que el axioma S4 es válido en \mathcal{N}.
b) Demostrar que SQ_{\mathcal{N}} no es completo respecto a \mathcal{N}.



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