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 Asunto: 2do Parcial 1 Cuatrimestre 2011
NotaPublicado: 15 Jul 2011, 17:04 
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Registrado: 16 Mar 2010, 12:50
Mensajes: 19
Problema 1
Sea f meromorfa con finitos polos a_1,...,a_m \notin \mathbb{Z} y tal que \lim_{|z| \to +\infty} |zf(z)| = 0.
(a) Para N \in \mathbb{N}, notamos C_N el cuadrado de vértices (N+\frac{1}{2})(1+i), (N+\frac{1}{2})(-1+i), (N+\frac{1}{2})(-1-i), (N+\frac{1}{2})(1-i). Probar que |\cot(\pi z)| \leq C para z \in C_N con C independiente de N.
(b) Probar que \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(n) = - \pi \sum_{k=1}^m Res(f(z)\cot(\pi z);a_k).
(c) Aplicación: dado a \in (0,+\infty), probar que \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{a^2+n^2} = \frac{\pi}{a} \coth(\pi a)

Problema 2
Consideramos f_n,f \in H(U), con U abierto y conexo, tal que la sucesión (f_n)_n es acotada en H(U) y el conjunto A:=\{z \in U : \lim_{n \to +\infty} f_n(z) = f(z) \} tiene un punto de acumulación en U. Probar que f_n \to f en H(U).

Problema 3
Fijamos puntos z_0 = 0, z_1, z_2, ... \in \mathbb{C} \backslash \{0\}, tales que |z_j| \nearrow +\infty y números a_0, a_1, a_2, ... \in \mathbb{C} \backslash \{0\}. Dado m \in \mathbb{N} consideramos la función L_m(w) := \frac{1}{w-1} + 1 + w + w^2 + ... + w^{m-1}, w \in \mathbb{C}.
(a) Probar que |L_m(w)| \leq 2|w|^m si |w|<\frac{1}{2}.
(b) Probar que si m es tal que \sum_{j \geq 1} \frac{|a_j|}{|z_j|^{m+1}} < \infty, entonces g(z) := \frac{a_0}{z} + \sum_{j \geq 1} \frac{a_j}{z_j} L_m\left(\frac{z}{z_j}\right) define una función meromorfa con polos simples en los z_j y vale Res(g;z_j) = a_j para todo j \geq 0.
(c) Deducir que si f es una función meromorfa con polos simples en los z_j con Res(f;z_j)=a_j entonces existe una función entera h tal que f=g+h.

Problema 4
Sea c \in \mathbb{C} tal que \text{Re}(c) > 1. Probar que la ecuación e^{-z} + z - c = 0 tiene una única solución en \{\text{Re}(z) > 0\}.
Sugerencia:
Resolución
considerar el camino formado por el segmento [iR,-iR] y el semicírculo Re^{it}, -\pi / 2 \leq t \leq \pi / 2.


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