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 Asunto: [No Resuelto] P(8 - 2.C.2014) - 5
NotaPublicado: 02 Dic 2014, 10:44 
Estudiante

Registrado: 06 Mar 2014, 12:39
Mensajes: 37
Sean (E,\Vert . \Vert_E), (F,\Vert . \Vert_F) espacios normados. Consideramos L(E,F):={T : E \longrightarrow F / T es lineal y continua}, y para cada T \in L(E,F) sea \Vert T \Vert = \sup_{\|x \|_E \leq 1} \| T(x) \|_F

Probar:
i)(L(E,F),\|.\|) Es un espacio normado
ii) Si F es de Banach entonces L(E,F) también lo es.

Tengo problemas con el item 2. Ya probé que mi candidato a límite es continua y pertenece a L, me falta sólo ver que efectivamente es el límite.


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 Asunto: Re: [No Resuelto] P(8 - 2.C.2014) - 5
NotaPublicado: 02 Dic 2014, 11:06 
Estudiante

Registrado: 06 Mar 2014, 12:39
Mensajes: 37
Ah, me definí T(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} T_n (x) Que ya probé que es continua y lineal.


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 Asunto: Re: [No Resuelto] P(8 - 2.C.2014) - 5
NotaPublicado: 02 Dic 2014, 11:14 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Resolución
\forall x \in E, T_n(x) es de Cauchy en F \Rightarrow T_n(x) \rightarrow \hat{x}.

Propongo \hat{T}(x) = \hat{x}. Veamos que efectivamente, T_n(x) \rightarrow \hat{T}(x)

Sea \epsilon > 0.. Como T_n es de Cauchy, \exists n_0 \in \mathbb{N} \diagup si n, m \geq n_0 \Rightarrow || T_n - T_m|| < \epsilon/4

Elijo ese n_0.

Sea x \in E tal que ||x|| \leq 1. Como T_n(x) \rightarrow \hat{x} \Rightarrow \exists m>n_0 \diagup ||T_m(x)-\hat{x}|| < \epsilon/4

\Rightarrow, por desigualdad triangular, queda que || T_n(x) - \hat{T}(x) || \leq || T_n(x) - T_m(x)  || + || T_m(x) - \hat{T}(x) || < \epsilon/2. Como esto pasa x, de norma 1, al tomar supremo, queda que lo pedido es menor que \epsilon, y listo el pollo. El truquito acá es que para todo x, aunque n tiene que quedar fijo y no depender de x, puedo hacer mover mi m cuanto quiera.


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