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 Asunto: [No Resuelto] P(7 - 2.C.2014) - 12
NotaPublicado: 13 Nov 2014, 19:37 
Estudiante

Registrado: 06 Mar 2014, 12:39
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Sea X un espacio métrico compacto, sea (f_n)_{n \geq 1} una sucesión de funciones continuas de X en \mathbb{R} y sea f:X\longrightarrow\mathbb{R} una función continua. Probar que (f_n)_{n \geq 1} uniformemente a f si y sólo si para toda sucesión (x_n)_{n \geq 1} en X que converge a x\in X, la sucesión (f_n(x_n))_{n \geq 1} converge en \mathbb{R} a f(x).

Tengo problemas para probar la vuelta, no se bien como encararlo.


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 Asunto: Re: [No Resuelto] P(7 - 2.C.2014) - 12
NotaPublicado: 14 Nov 2014, 22:56 
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Mensajes: 1166
Probá por el contrareciproco: Suponé que no converge unifomemente, entonces existe \varepsilon tal que ...
Intentá seguir este camino, si te trabás posteá lo que hiciste y te ayudo.



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Quimey
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 Asunto: Re: [No Resuelto] P(7 - 2.C.2014) - 12
NotaPublicado: 15 Nov 2014, 12:19 
Estudiante

Registrado: 06 Mar 2014, 12:39
Mensajes: 37
Creo que salió, lo que hice fue: Si no converge uniformemente, entonces existe \epsilon tal que para todo n existe x tal que d(f_n(x),f(x)) \geq \epsilon.
Entonces tomé el \epsilon que sirve y lo llamé \epsilon_0. Y consideré el conjunto M_n = \lbrace x \in X : d(f_n(x),f(x)) \geq \epsilon_0 \rbrace. O sea el conjunto de los x que hacen que no converja uniformemente.
Ahora tomo un elemento de cada M_n. Y me queda una sucesión (x_n)_{n\in\mathbb{N}}. Como esta sucesión está en un compacto tiene una subsucesión convergente. Considero entonces x_{n_k} convergente, y x su límite.
Y por construcción se que d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x_{n_k}))\geq\epsilon_0. Ahora quisiera ver que f_{n_k}(x_{n_k}) no converge a f(x).
Se que \epsilon_0 \leq\d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x_{n_k}))\leq d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x)) + d(f(x),f(x_{n_k}))
Se que si n_k es suficientemente grande y como f es continua, d(f(x),f(x_{n_k}))<\frac{\epsilon_0}{2}.
Entonces \frac{\epsilon_0}{2}\leq d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x)).
Entonces encontré una sucesión x_{n_k} que converge a x, y que f_{n_k}(x_{n_k}) no converge a f(x). Entonces por contrarecíproco probé lo que quería.

¿Está bien lo que hice? Me llama la atención que en ningún momento usé el dato de que el codominio de mis funciones es \mathbb{R}


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 Asunto: Re: [No Resuelto] P(7 - 2.C.2014) - 12
NotaPublicado: 15 Nov 2014, 13:51 
1er Licenciado
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
A mi me parece bastante bien. Igual está mal la negación de la convergencia uniforme, te faltó el "n_0".



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Quimey
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