UBACS Q&A Foro WikiCS
Fecha actual 18 Dic 2018, 22:51

Todos los horarios son UTC - 3 horas




 Página 1 de 1 [ 5 mensajes ] 
Autor Mensaje
 Asunto: [Resuelto], P(4-2C 2009)-5
NotaPublicado: 15 Oct 2009, 14:18 
Ayudante de Primera
Avatar de Usuario

Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
Dice:

Sea (X,d) un espacio metrico separable. Probar que toda familia de subconjuntos de X no vacios, abiertos y disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable.

Yo hice esto:

Resolución
Vamos a probarlo por el absurdo. Supongamos que exite una familia de subconjuntos de X abiertos, no vacios y disjuntos dos a dos ni finita ni numerable. Llamemosle D = \lbrace A \subseteq X \textrm{,que cumplen todo eso} \rbrace.
Sea B la union disjunta de todos los A \subseteq D. Es decir, B=\cup A_{i} \forall i. Luego B es abierto, pues toda union de abiertos es abierto. Ademas B\subseteq X pues cada A_{i} \subset X.
Ahora usamos que X es separable: COmo X es separable, entonces existe C=\lbrace U_{i} \rbrace _{i \in \mathbb{N}} base numerable de abiertos de X. Como B \subseteq X, entonces B = \cup U_{i} para algun i. Como union numerable de numerables es numerable, por la igualdad, B es numerable. Si B es numerable y B=\cup A_{i}, entonces los A_{i} son numerables \forall i. Aca esta el absurdo, pues supuse que D = \lbrace A \subseteq X \textrm{,que cumplen todo eso} \rbrace era no numerable



Espero que se entienda. Si hay algo mal avisenme

Gracias


Última edición por akd mia el 18 Oct 2009, 14:32, editado 1 vez en total

Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: [No Resuelto], P(4-2C 2009)-5
NotaPublicado: 15 Oct 2009, 23:51 
1er Licenciado
Avatar de Usuario

Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
esta mal porque no sabes que los U_i sean numerables, son una cantidad numerable pero no sabes que cada uno de ellos lo sea.

LA POSTA:
Resolución
agarrate un denso numerable y demostrá que hay un punto del denso en cada abierto.



_________________
Quimey
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: [No Resuelto], P(4-2C 2009)-5
NotaPublicado: 16 Oct 2009, 19:27 
Ayudante de Primera
Avatar de Usuario

Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
La verdad, no entiendo porq eso me probaria q toda familia de esos subconjuntos seria separable.


Gracias


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: [No Resuelto], P(4-2C 2009)-5
NotaPublicado: 16 Oct 2009, 22:35 
1er Licenciado
Avatar de Usuario

Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Resolución
Considera la funcion Denso --> Familia de abiertos que a un punto le asigna el conjunto donde esta (que es unico porque son disjuntos). Esta funcion es sobreyectiva, entonces el cardinal de la familia de abiertos es menor o igual al del denso y eso prueba lo que queres.



_________________
Quimey
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: [No Resuelto], P(4-2C 2009)-5
NotaPublicado: 18 Oct 2009, 14:31 
Ayudante de Primera
Avatar de Usuario

Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
Buenisimo

Muchas Gracias


Desconectado
 Perfil  
 
Mostrar mensajes previos:  Ordenar por  
 Página 1 de 1 [ 5 mensajes ] 

Todos los horarios son UTC - 3 horas


¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado


No puede abrir nuevos temas en este Foro
No puede responder a temas en este Foro
No puede editar sus mensajes en este Foro
No puede borrar sus mensajes en este Foro
No puede enviar adjuntos en este Foro

Buscar:
Saltar a:  

cron