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 Asunto: [Resuelto], P(3-2C 2009)-4
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:07 
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
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Dice : Sea S \subseteq \mathbb{R}^{n}. Probar que si S es no numerable, entonces existe x \in S tal que x es punto de condensacion de S

Hasta ahora se me ocurrio esta parte:
Resolución
Pruebo por contrareciproco. Es decir, veamos que S no tiene puntos de condensacion \Rightarrow S es numerable.
Como S no tiene puntos de condensacion \Rightarrow \forall x \in S,  \exists r>0 \backslash B(x,r)\cap S es numerable. Entonces existe f: {B(x,r)\cap S} \rightarrow \mathbb{N} \forall x \in S.
Hasta aca llegue. No puedo ver porq la parte de S que no esta en la interseccion tambien tendria q ser numerable. Si me pueden tiraqr alguna ayuda, agradecere


gracias


Última edición por akd mia el 10 Oct 2009, 18:50, editado 1 vez en total

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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-4
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:43 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Resolución
S\eq=\bigcup_{x\in S}B(x,{r}_{x})\cap S(uní todas las bolas que vos marcaste en lo que hiciste, suponiendo que no hay puntos de condensación. Ahora, \mathbb{R}^{n} es separable(tiene un denso a lo sumo numerable), entonces S también es separable. Usando que B(x,{r}_{x})\cap S son abiertos en S, tenés un cubrimiento por abiertos de S. Entonces, al ser separable admite subcubrimiento a lo sumo numerable. Entonces S\eq=\bigcup_{i\in I}B({x}_{i},{r}_{{x}_{i}})\cap S con I a lo sumo numerable. Entonces S es unión a lo sumo numerable de conjuntos a lo sumo numerables, entonces S es a lo sumo numerable, como querías ver.

Nota: esto de cubrimientos por abiertos es Lindelof. Se puede probar para \mathbb{R}^{n} a ''mano'', y es lo que se hace en los primeros ejercicios de la práctica 4 o 3(no recuerdo).
Si no se entiende algo avisá. Saludos



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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-4
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:50 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
Se entendio todo
Gracias Marce


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 Asunto: Re: [Resuelto], P(3-2C 2009)-4
NotaPublicado: 04 Dic 2014, 12:37 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
Hola! Tengan en cuenta que en la práctica de cardinalidad todavía "no sabíamos" lindelof, ni separabilidad en general. ¿Se les ocurre alguna manera de resolver el ejercicio sin usar algo tan fuerte como que R es separable? ¡Saludos, gracias!


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 Asunto: Re: [Resuelto], P(3-2C 2009)-4
NotaPublicado: 04 Dic 2014, 12:58 
Estudiante

Registrado: 30 Nov 2014, 17:19
Mensajes: 44
¡Creo que la tengo! Tal vez esté usando el axioma de elección, pero who cares, right?

Resolución
exequiel131719 escribió:
S\eq=\bigcup_{x\in S}B(x,{r}_{x})\cap S(uní todas las bolas que vos marcaste en lo que hiciste, suponiendo que no hay puntos de condensación.



Empiezo haciendo lo mismo. Ahora, \forall\ x \in \mathbbb{S}\ \exists\ q_x \in \matbbb{Q} tal que d(q_x,x)<\frac{r_x}{2}

Afirmo que B(q_x, \frac{r_x}{2}) \subseteq B(x, r_x). Esto se puede ver usando la desigualdad triangular. (*)

Ahora bien, puede pasar que algún q \in \mathbb{Q} aparezca repetido, en bolas de (tal vez) distintos radios. En ese caso, me quedo con la bola más grande. (...Esto me huele a que estoy usando el axioma de elección, pero bueno).

S\eq=\bigcup_{q\in \mathbb{Q}}B(q_x,\frac{r_x}{2})\cap S

Cada bola es numerable por estar metida adentra de la bola numerable original (*). Unión numerable de cosas es numerable, así que listo el pollo. (Abs! Supusimos S no numerable)


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