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 Asunto: [Resuelto], P(3-2C 2009)-2
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 17:16 
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
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Dice asi: Sea G la coleccion de todas las bolas B(q,r) de \mathbb{R}^{n} con centro q \in \mathbb{Q}^{n} y radio racional r. Sea S\subset \mathbb{R}^{n} abierto y x \in S. Probar que existe B \in G tal que x \in B \subseteq G


Yo hice lo siguiente:
Resolución
Como S es abierto, entonces se que para todo punto de Sexiste un radio talque la bola centrada en cualquier punto y con ese radio esta contenida en S. Entonces, dado x \in S y sea r' >0, B(x,r') \subset S. Lo que voy a buscar son q_{1} \in \mathbb{Q}^{n}, q_{2} \in \mathbb_{Q} talque B(x,r')\subset B(q_{1},q_{2})
Por densidad de \mathbb{Q}^{n} en \mathbb{R}^{n} existe q_{1} \in \mathbb{Q}^{n} tal que \parallel x - q_{1} \parallel < \epsilon. Luego, x \in B(q_{1}, \epsilon). Tambien, por densidad de \mathbb{Q} en \mathbb{R} existe q_{2} \backslash q_{2}< \epsilon. Entonces x \in B(q_{1},\epsilon) \subseteq B(q_{1}, q_{2}) \in G


Esta bien o le pifie en algo???

Gracias


Última edición por akd mia el 10 Oct 2009, 18:53, editado 3 veces en total

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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-2
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:15 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
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Fijate que debería decir ||x-{q}_{1}||<\epsilon, y 0<{q}_{2}<\epsilon. Por otro lado, lo que querés probar es que B({q}_{1},{q}_{2})\subseteq B(x,r'), no la otra inclusión. Y esto no vale en general con los \epsilon que tomaste. Fijate que tendrías que ver y\in B({q}_{1},{q}_{2}), querés ver que y\in B(x,\epsilon). Para eso, tenés que acotar ||y-x||. Lo natural sería:
||y-x||\leq ||y-{q}_{1}||+||{q}_{1}-x||<{q}_{2}+\epsilon<2\epsilon
Ahora... querés que quede menor que r' todo lo anterior. De ahi que \epsilon<\frac{r'}{2}.
O sea... la idea que pusiste es lo que tenés que hacer, pero hay que refinarla.
Espero que se entienda.
Saludos



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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-2
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:33 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
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Dado la bola q tengo por definicion no quiero yo encontrar una bola mas GRANDE con centro y radio racional??? porq si x esta en la chica tmb ca a estar en la grande q es racional, q es lo q quiero probar


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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-2
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:46 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
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Pero en la bola grande te podés salir de S, el conjunto. Por eso tomás una bola más chica.



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 Asunto: Re: [No Resuelto], P(3-2C 2009)-2
NotaPublicado: 10 Oct 2009, 18:52 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
Es verdad, ni se me habia cruzado por la cabeza esa posibilidad

graciasss


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