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 Asunto: [Resuelto], P(1-1C 2009)-8 (c),(d)
NotaPublicado: 13 May 2009, 04:21 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Estreno esta sección., con un ejercicio elemental, como excusa para poner algo adicional.
(c)Encontrar una sucesión no convergente {({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R} que verifique \lim_{n\rightarrow +\infty} |{a}_{n}-{a}_{n+1}|\eq=0
Resolución
Dado que una sucesión puede ser no convergente pues tiende a +\infty, notando que {a}_{n}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{n} es divergente, y:
|{a}_{n}-{a}_{n+1}|\eq=\frac{1}{n+1}\rightarrow 0, tenemos la sucesión buscada.

(c')Igual que (c), pero ahora {({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq{R} debe ser no convergente y acotada.
Resolución
Para resolver este ejercicio, tenemos que usar un resultado de series, y es que dada una serie condicionalmente convergente, dados K<K', existe un reordenamiento de la serie tal que su límite inferior y superior sean K,K' respectivamente. Más aún, ese reordenamiento se puede elegir tal que el término general converga a 0(esto se ve en taller. La idea es sumar términos positivos hasta excederse de K', luego términos negativos hasta pasarse de K, luego... como el término general tiende a 0, se tiene que las sumas cada vez están más pegadas de K' o K(recordar que son condicionalmente convergentes, con lo que las series de los términos positivos y negativos divergen). Esto no pretende ser una demostración. En taller se prueba este resultado(al menos en mi cursada vimos el bosquejo de la idea, y su formalización no es tan molesta como parece). En fin, con este resultado, podemos construir la {({a}_{n})}_{n\in \mathbb{N}} como se pide:
{a}_{n}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{{(-1)}^{i}}{i}
da la serie condicionalmente convergente \sum_{n\eq=1}^{+\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{n}. Estamos en la hipótesis del enunciado, con lo que existe un reordenamiento de la serie {b}_{n}\eq=\aum:{i\eq=1}^{n}{c}_{i} que verifica que sus límites de oscilación sean K'<K, luego son distintos con lo que diverge y por ser finitos, está acotada. Además {c}_{n}\rightarrow 0 por el enunciado del teorema. Luego, tenemos como antes:
|{b}_{n}-{b}_{n+1}|\eq=|{c}_{n+1}|\rightarrow 0
Luego esta sucesión exhibida verifica lo pedido.

(d)Analizar la situación del inciso (c) pero con la condición \lim_{n\rightarrow +\infty} |{a}_{n}-{a}_{n+p}|\eq=0,\forall p\in \mathbb{N}. Explicar por qué la respuesta no contradice ningún resultado conocido.
Resolución
Sirve la misma sucesión de (c), pues:
|{a}_{n}-{a}_{n+p}|\eq=\sum_{i\eq=n+1}^{n+p}\frac{1}{i}<\frac{p}{n+1}\rightarrow 0
(el p una vez elegido está fijo, y no depende de n)
Con respecto a la segunda parte, el resultado conocido que parecería contradecido es el de que toda sucesión de Cauchy en los reales(con la métrica usual {d}_{1}) converge. Esto no se ve contradecido, puesto que, de serlo, se debería verificar:
|{a}_{n}-{a}_{m}|<\epsilon para n,m\geq N
propiedad que no verifica la sucesión {a}_{n}(una serie de números reales es convergente sii es de Cauchy)
En particular, está fallando que p no depende de n

Espero que sirva. Próximamente, más ejercicios(mañana-hoy...)



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