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 Asunto: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 11:30 
Profesor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:36
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Bueno, estaba estudiando muy tranquilo para el final cuando me encontré con esto:
\textrm{Sea $f(z)$ holomorfa en $\vert z \vert >R \leftrightarrow f(\frac{1}{z})$ holomorfa en $\vert z \vert <R$}
Esto lo usa para demostrar la que si una serie de potencias negativas y postivas converge en una corona entonces una una función descripta por esa serie es holomorfa.

¿Con eso no esta diciendo básicamente que:\frac{1}{\vert z \vert }>R \leftrightarrow \vert z \vert <R?

Eso mismo lo usa explícitamente a lo largo de la demo (al menos así parece).

¿Entonces, está bien o está mal esa afirmación?

Cualquier ayuda es apreciada

PD: Si alguien entró pensando que era un ejercicio de Álgebra 1 perdón. Igual talvez me puedan ayudar, jaja.



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 13:20 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
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lo que yo creo que vale es que si

f(z) \textrm{ holomorfa en } |z|<R

entocnes haciedno el cambio de variables z=\frac{1}{w},


f(\frac{1}{w}) \textrm{ holomorfa en } |w|>\frac{1}{R}


en qué parte de la demostración lo usa? en nuestra demostración no lo usamos en ningún momento :p.

Lo que hacemos es decir que la serie de potencias \sum_{k=0}^{\infty} {a}_{k} {(z-{z}_{0})}^{n} converge cuando |z-{z}_{0}|<{R}_{1}, y la serie de potencias negativas \sum_{k=1}^{\infty} {c}_{k} \frac{1}{{(z-{z}_{0})}^{n}} converge cuando |z-{z}_{0}|>{R}_{2} para algún {R}_{2}. Entonces la serie total va a converger en la corona {D}^{*}({z}_{0},{R}_{2},{R}_{1}) siempre que se cumpla que {R}_{2}<{R}_{1}

Y lo que hacemos es mirar que f(z) se puede escribir como la suma de esas dos series, que ya sabés que convergen (o sea, te fijás que convergen uniformemente haciendo el M-test para ver que podés cambiar integrales con series)

y con lo de arriba me parece que podés ver que justamente {R}_{2}=\frac{1}{{R}_{1}} pero creoq ue no lo usé en nignún momento de la demostraciónm :S

igual no me creas nada de lo que digo :p
contame qué opinás :)



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 14:48 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:36
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Veo como llegas a que a f la podés escribir como la suma de dos series que convergen en una corona, pero como asegurás la holomorficidad? Por eso usaba esa propiedad rara.

Probar que si una función es holomorfa en una corona entonces la podés escribir como una serie lo puedo hacer, la vuelta es lo que me estaría costando.

Todo esto desemboca en la unicidad de la representación de Laurent (uno de los puntos de la listita de Serrano)

No entendí lo de {R}_{2}=\frac{1}{{R}_{1}}

Gracias por la ayuda, esto es lo único que me falta, ya estoy cansado de estudiar.

PD: Sabés de alguien que haya rendido ya?



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 16:15 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
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yo lo que vi es una demostración de si {S}_{n} es una serie de potencias que converge a S(z), entocnes S(z) es holomorfa en su círculo de convergencia (y con un cambio de variables supongo que puede aplicarse sin demasiado problema a una serie de potencias de 1/z aunque quizás no es cierto). (es el único teorema cuya demostración todavía no entendí de los que demostramos en clase, jaja, pero sale usando el teorema de Morera)

esteban lo rindió, pero con lami, y el método de lami para tomar final es un poco distinto al de serrano creo (no tenemos lista ni nada, yo personalmente estoy estudiando todo lo que se demostró en clase).

Lo de {R}_{2}=\frac{1}{{R}{1}} (o al revés, ni me acuerdo) digo que sale de hacer el cambio de variables que te dije al principio


para demostrar la unicidad del desarrollo en serie este hombre uso el teorema del prolongamiento único.. que no lo demostró, así que no te puedo ayudar mucho :p



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 17:16 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:36
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bel escribió:
yo lo que vi es una demostración de si {S}_{n} es una serie de potencias que converge a S(z), entocnes S(z) es holomorfa en su círculo de convergencia (y con un cambio de variables supongo que puede aplicarse sin demasiado problema a una serie de potencias de 1/z aunque quizás no es cierto)

Ese cambio de variables es justo lo que no me sale! jaja, habrá que seguir intentando supongo.
La otra parte del teorema sí la entedí, no sé como lo hicieron ustedes (nosotros el teorema de Morera lo enunciamos después), cualquier cosa pregunta.



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 17:50 
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hmm.. qué complicado. Bueno, pero que una serie de potencias positivas converge a una función holomorfa si lo creés? qué lio que se hayan dado las cosas en distinto orden. Ese teorema anda por algún libro que leí también, si querés después te busco exactamente en cuál (nunca leí tantos libros diferentes para una sola materia, creo).
Bueno, si nos creemos ese teorema, sabemos que donde una serie de potencias converge, define una función holomorfa. Y sabemos que las series de potencias convergen en una región |z|<R (lo centro en el cero para no andár escribiendo zetaceros por todos lados).

Entonces, ahora considero una serie distinta,

\sum_{k=1}^{\infty}{c}_{k} \frac{1}{{z}^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}{c}_{k} {{w}^{k}}

si w=\frac{1}{z}

La serie de el lado derecho de la igualdad es una serie de potencias común y corriente, que sabemos que converge en |w|<R para algún R, y que defiine una función holomorfa dentro de su radio de convergencia, porque lo dice un teorema. Entonces, tengo que la serie converge cuando:

|\frac{1}{z}|<R

y en donde converja, va a definir una función holomorfa.

Entonces, la serie de potencias negativas define una función holomorfa cuando:

\frac{1}{R}<|z|


Bueno.. espero que esto haya ayudado y que haya tenido algo que ver con lo que no entendías, porque capaz entendí cualquier cosa (y si estoy haciendo algo mal decime porque me genera mucha inseguridad esta materia, jaja)

bueno, un beso



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 18:15 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:36
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Eso es exactamente lo que estoy haciendo yo, pero mi duda viene porque quiero que me de otra cosa.


El tema es así. El tipo ya probó que analítica es holomorfa y viceversa, probó que si tenés una función holomorfa en una corona la podés escribir como una serie de Laurent. Hasta ahí todo bien, el problema viene cuando quiere probar que: "Sea la serie \sum_{n=0}^{\infty} {a}_{n} {(z-{z}_{0})}^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} {b}_{n} \frac{1}{{(z-{z}_{0})}^{n}} convergente a f(z) en la corona D (con radio inferior {R}_{1} y radio superior {R}_{2}) entonces f es holomorfa en D y la serie es de Laurent." Este teorema es muy importante, ya que muestra que los desarrollos de Laurent son únicos y que si encuentro algo que tiene la pinta de esa serie y converge a la función entonces es la serie de Laurent.



El tipo para probar que la f es holomorfa hace lo siguiente, dice que f es la suma de dos funciones (la parte de potencias negativas y la parte de potencias positivas). Sobre la parte de potencias positivas dice que converge con radio {R}_{2}, por lo tanto esa parte es holomorfa, por ahora bien. Sobre la parte de potencias negativas da vuelta el z (para que le queden las potencias negativas, esto se puede ver como que estamos evaluando esa parte de la función en \frac{1}{z}), entonces dice que converge para \frac{1}{\vert z \vert }>{R}_{1} \rightarrow \vert z \vert <{R}_{1} y después usa lo que puse en mi primer post, concluyendo que esa parte de la función converge para \vert z \vert >{R}_{1}. Por eso el cambio de variables que mostraste recién, que es el mismo que hago yo, no me sirve, o al menos no veo como me puede servir.



Conclusión, no sé si no entiendo, si el tipo se equivocó o qué. Bueno, de última se lo contaré todo muy lindo y esperar que no me haga entrar en detalle. Quiero rendir ya!!!!!

Gracias por la ayuda



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 21 Ago 2009, 18:41 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
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claro.. bueno, nosotros hicimos todo demasiaaaaado diferente, pero yo lo interpreto así (lo que acabás de decir). Supongamos que g(z) es la parte de la función que se puede escribir como la suma de las potenicas negativas, que es la que nos interesa. Entonces, (no pongo los coeficientes en ninguna serie pero están :p)

g(z)=\sum \frac{1}{{z}^{k}}, converge cuando |z|>R

si z=\frac{1}{w} defino h(w)=g(\frac{1}{w}) y la serie:

g(\frac{1}{w})=h(w)=\sum {w}^{k}} converge cuando |w|<\frac{1}{R}

O sea que tenemos a la funcion h(w) holomorfa en la región indicada ahí, porque es una serie de potencias positivas que converge, o sea que h(w)=g(\frac{1}{w})=g(z) es holomorfa cuando:

|w|<\frac{1}{R}, o sea cuando |z|>R


bueno.. esto es lo máximo que llego a entender, quizás no te ayude para nada, pero como vimos las cosas de maneras muy diferentes no creo que te pueda ser de mayor ayuda. Sino, si seguís sin convencerte de esta demostración que te dieron a vos y querés que te cuente nuestra manera de llegar al mismo resultado, avisame y te cuento. beso!



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 22 Ago 2009, 14:02 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:36
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Uy sí, me gustó lo que pusiste, me quedo con eso jaj.

Muchas gracias

PD: ¿sabés a que hora es el martes? todavía no pusieron los horarios en la web



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 Asunto: Re: Pregunta sobre complejos
NotaPublicado: 22 Ago 2009, 14:24 
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
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buenísimo! :) me alegro
es a las 10 el final según Lami, y acá dice eso tmb

http://cms.dm.uba.ar/finales/Finales%20 ... e%20Agosto

aunque lo que no pusieron todavía es el aula

nos vemos!



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