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 Asunto: [Pregunta] Final 16-06-04 ejercicio 1) ii)
NotaPublicado: 13 Mar 2010, 23:45 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
El ítem i) es demosrar la convergencia del método de punto fijo, el ítem ii) pide calcular el valor de la siguiente expresión:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}

Resolución
Yo lo único que puedo decir es que dada g(x)=\sqrt{2+x}, la expresión está dada por un punto fijo de g. Pero.. cómo encuentro su valor? yo a lo sumo lo que sé hacer es encontrar un intervalo en el que esté contenido, pero el valor de la expresión recién lo puedo obtener iterando un número grande de pasos de de la sucesión de punto fijo y eso claramente no lo voy a hacer a mano...



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 Asunto: Re: [Pregunta] Final 16-06-04 ejercicio 1) ii)
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 06:26 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
Está bien lo que pensás....solo hay que escribirlo mejor y listo.

La expresión pedida es igual a L=lim_{n\rightarrow\infty}a_n donde a_n puede definirse por recurrencia así: a_1=\sqrt{2} y a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}

Entonces considerás la g que vos decís. Notá que la sucesión de punto fijo g(x_n)=x_{n+1} es la misma que definí arriba. Verificás que g cumple las hipótesis y luego sab}es qe converge a un punto fijo.

Así que L va aser el punto fijo de g, que es 2.

luego \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2


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