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Autor Mensaje
 Asunto: [duda] ej 2 final 7-8-07
NotaPublicado: 09 Mar 2010, 12:43 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
dice asi.... (una parte nomás)

Sea la ecuacion x+ln(x+1)=2

b) Mostrar que r es raíz simple de f(x)=x+ln(1+x)-2. Hallar un x_0 a partir del cual la sucesión dada por newton converge a r. justificar (puede usar argumentos geométricos)
Resolución
A ver... yo no hice ningún argmuento geométrico. Digo esto:
como r\in (1,2) tomo por ej el intervalo (0,5;1,5) resulta que, como f'(x)=1+\frac{1}{1+x}>1 para cualquier x>-1 ocurre que |f'(x)|\geq\delta con \delta=1
Además |f''(x)|=\frac{1}{(1+x)^2}\leq1 para los x>0. Tomo entonce M=1 Todo esto se cumple en particular en el intervalo dado.
Bueno, usando un teorema visto en clase donde asegura la convergencia de NR para un intervalo [r-\epsilon,r+\epsilon] donde epsilon verifica: \frac{M}{2\delta}\epsilon<1
Notar que en esta condición ocurre que \epsilon<4 y yo tomé \epsilon =0.5 que verifica esta cota y las hipotesis del teorema.
Luego cualquier x_0\in(0.5;1.5) sirve.


Ta bien?


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 Asunto: Re: [duda] ej 2 final 7-8-07
NotaPublicado: 13 Mar 2010, 16:36 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
yo hice lo siguiente:

Resolución
sé por bisección que r \in (1,2)=I

f(x)=x+ln(x+1)-2
f'(x)=1+\frac{1}{x+1}>0 \forall x \in I
f''(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}>0 \forall x \in I

Entonces, en todo I f es creciente y convexa, y puedo probar por inducción que \forall {x}_{0} \in I la sucesión de punto fijo {x}_{n} es decreciente y acotada inferiormente por r entonces es convergente y tiende a r. (eso no lo pongo acá porque es muy largo jaja)

igual supongo que también está bien lo que vos hiciste, sólo quería contar mi forma jaja



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 Asunto: Re: [duda] ej 2 final 7-8-07
NotaPublicado: 13 Mar 2010, 18:00 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
Al fin alguien que me contesta GRACIASS!!!

pensé que era el único qe estaba estudiando esto...

Sólo una observación a lo que dijiste....

deberías tomar dos casos,... x_0 a la derecha de r, o bien a la izquierda, porque las sucesiones te quedan diferentes...

ahora lo voy a hacer de ese modo a ver si me sale. Pero mepa que si tomás a la derecha debería quedar una suc decreciente como vos decís, y si lo tomás a la izquierda pueden pasar dos cosas:
i) que sea una suc creciente y acotada SUPEERIORM por r y listo, porqe es lo mismo
ii) que en una cantidad finita de pasos, digamos n pasos, el x_n te quede a la derecha de r y listo también porque en tal caso te queda una sucesión que a partir de n se comporta igual que en el caso anterior.

nda mas que eso Saludos!!


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 Asunto: Re: [duda] ej 2 final 7-8-07
NotaPublicado: 13 Mar 2010, 21:24 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
no, si lo tomás dentro del intervalo I donde se cumple la condición de que sea creciente y convexa, no hace falta hacer ningún tipo de consideración sobre donde tomás {x}_{0}. Fijate, si escribimos:

{e}_{1}=r-{x}_{1}=\frac{f''(\tita)}{2f'({x}_{0}}{{e}_{0}}^{2}>0

Ahí usé la expresión para el error de NR, y el hecho de que ambas derivadas son positivas pues los puntos donde las tomo pertenecen a I. De ahí veo que, no importa donde tomo {x}_{0}, a partir de {x}_{1} ya siempre te caen del mismo lado.
Igual, no estoy 100% convencida de lo que digo, pero me parece que una cosa así aclaró armentano en una clase, y mal que mal me convenzo. Me parece que cuando tenés que mirar dónde tomas el {x}_{0} es cuando tenés más de una raiz, o cuando estás en un intervalo donde las derivadas no manteinen el mismo signo. Ahí sí, dependiendo de qué lado tomes el {x}_{0} vas a tener una distinta sucesión, por ejemplo el caso en que la raiz es doble., que ahí tenés que ver si lo tomás de un lado o del otro de la raiz... bueno, si no después armo un ejemplo más puntual, pero a mi me parece que en este caso sirve. pero decime que opinás!!
yo también me alegro de tener apoyo virtual, jaja



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 Asunto: Re: [duda] ej 2 final 7-8-07
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 16:25 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
claro pasa eso qe vos decis...

o sea la opción ii de que si queda de l otro lado (una cantidad finita sería sólo un paso en este caso jeje!)

buenísimo !! gracias


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