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 Asunto: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 27 Feb 2010, 01:52 
Vago

Registrado: 11 Ago 2008, 18:45
Mensajes: 1
Bel pidió por mail, asi que aca está el final del 23 de febrero de Numerico con soluciones y todo. Cualquier duda posteen!

1) a) Sea A \in \mathbb{R}^{n\times n}, pruebe que Jacobi converge si A es estrictamente diagonal dominante.
b) Pruebe que si B \in \mathbb{R}^{n\times n} y ||B^k||<1 para cierto k \geq 1 entonces las iteraciones x^{m+1} = Bx^m+b convergen a un punto fijo x tal que x = Bx+b
c) De un ejemplo de una matriz B\in \mathbb{R}^{n\times n} tal que ||B||\geq 1 y sin embargo las iteraciones x^{m+1} = Bx^m+b convergen a un punto fijo x tal que x = Bx+b.
(Sug. mire matrices de la forma \left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda\end{matrix}\right)).

2) Sea f\in C^2[a,b],\ a=x_0<x_1<\cdots < x_n=b. Llamando h_i=x_{i+1}-x_i y l(x) a la función lineal a trozos que verifica l(x_i)=f(x_i) se tiene que:
a) ||f-l||_{\infty,[a,b]}\leq \tfrac{h_M^2}{2} ||f''||_{\infty,[a,b]}
b) ||f'-l'||_{\infty,[a,b]}\leq h_M ||f''||_{\infty,[a,b]}
donde \displaystyle h_M= \max_{0\leq i\leq n-1} \{h_i\}.

3) Sean T_n y T_m polinomios de Tchebychev con m\not = n. Verifique que son ortogonales en el producto interno dado por
\langle f,g \rangle = \displaystyle \int_{-1}^1 fg\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx
(Sug. puede usar que \int_{-\pi}^\pi \cos(mx)\cos(nx)=0.)
b) Si tuviera que elegir dos nodos para una regla de integración Q(f)
Q(f) \sim \displaystyle \int_{-1}^1 f\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx
qué nodos elegiría para maximizar la exactitud de la regla?. Que exactitud es esa?

4)Construya un metodo multipaso convergente de la forma
y_{n+2}-ay_n = \dfrac{h}{3}(f_{n+2}+bf_{n+1}+f_n)
Que orden tiene?.

--- FIN ENUNCIADOS ---

Dos cosas que surgieron preguntandole a Acosta:
i) En 1)b) se puede asumir la existencia de un punto fijo tal que x=Bx+b, según Acosta este hecho se debería desprender de la solucion, peeeero a mi no me quedo tan claro asi que fui y pregunte.
ii) La norma de la que habla 1)c) es una norma particular. Tiene que ser asi porque si para toda norma ||B||\geq 1, entonces \rho(B)\geq 1 y x_{m+1}=Bx_m+b no converge para algun dato inicial.

Las soluciones
1)a)
Resolución
Solucion tal cual el apunte:
Alcanza con ver que ||B_J||<1
B_J=-D^{-1}(L+U) = \left(\begin{matrix}0 & -\tfrac{a_{12}}{a_{11}} & \cdots & -\tfrac{a_{1N}}{a_{11}} \\-\tfrac{a_{21}}{a_{22}} & 0 &  & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ -\tfrac{a_{N1}}{a_{NN}} & \cdots & \cdots & 0 \\ \end{matrix}\right)
Mirando en norma infinito, queda ||B_J||_\infty = \displaystyle \max_i \sum_j |b_{ij}| = \sum_{j=1}^N \left|\tfrac{a_{ij}}{a_{ii}}\right| para algún i
Ahora, ||B_J||<1 \Leftrightarrow \displaystyle \sum_{j=1}^N \left|\tfrac{a_{ij}}{a_{ii}}\right| <1 \Leftrightarrow \sum_{j=1}^N \tfrac{|a_{ij}|}{|a_{ii}|} < 1 \Leftrightarrow \sum_{j=1}^N |a_{ij}|< |a_{ii}|
que vale por ser A estrictamente diagonal dominante.

b)
Resolución
Nosotros sabemos que si ||B|| < 1 las iteraciones convergen y somos felices. Hay que ver como podemos hacer para acomodar esa idea a la condicion ||B^k|| < 1
Para esto consideramos las k subsucesiones de \{x_n\} que van saltando de a k elementos, a saber: \left\{x_{nk+i}\right\}, 0\leq i < k
Para cada una de esas subsucesiones (que por conveniencia vamos a notar \{y_n\}), vale: y_{n+1}=B^ky_n, entonces como ||B^k||<1 esas k subsucesiones convergen.
Observemos que el punto fijo es único: si x_1 y x_2 son puntos fijos, restando las ecuaciones x_i = Bx_i+b queda (x_1-x_2)=B(x_1-x_2) hacemos ese reemplazo k veces y queda (x_1-x_2)=B^k(x_1-x_2) tomando norma ||x_1-x_2|| = ||B^k(x_1-x_2)|| \leq ||B_k||\cdot ||x_1-x_2||< ||x_1-x_2||, que vale solo si x_1-x_2=0.
Recapitulando: las k subsucesiones que saltan de a k convergen a un mismo punto x. Aca ya casi está, falta un argumento para ver que todas juntas también convergen, y que va a necesitar una cuentita con epsilons y enes_i:
Dado \varepsilon >0 existe n_i tal que n\geq n_i  \Rightarrow  ||x_{nk+i}-x||<\varepsilon. Entonces tomamos N=\max\{n_i\}. Si consideramos n\geq k(N+1)=kN+k, y n=kp+i, con 0\leq i < k, se puede ver que p\geq N, si no fuera asi, n=kp+i< kN+k = k(N+1) \leq n, ABS!
Entonces p\geq N \geq n_i, por lo que ||x-x_n||<\varepsilon
((Notar que esto es solo una forma recontra rebuscada y formal de decir "Para todo epsilon positivo existe n_0\ (=k(N+1)), tal que si n\geq n_0 entonces ||x-x_n|| < \varepsilon"))

c)
Resolución
Inductivamente se puede ver que \left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right)^n = \left(\begin{matrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1}\gamma \\ 0 & \lambda^n \end{matrix}\right)
Con n=1 claramente vale.
Suponemos que vale para n, entonces para n+1:
\left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right)^{n+1} = \left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right)^n\left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1}\gamma \\ 0 & \lambda^n \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \lambda \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda^{n+1} & (n+1)\lambda^n\gamma \\ 0 & \lambda^{n+1} \end{matrix}\right)
La idea ahora, es recordar que e_n = B^n e_0, entonces si \lambda<1, B^n \to 0 y por lo tanto el metodo va a converger para cualquier dato inicial.
Viendo esto tomamos: \lambda=\tfrac{1}{2},\ \gamma=10 \Rightarrow B=\left(\begin{matrix} \tfrac{1}{2} & 10 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) \Rightarrow ||B||_\infty = 10+\tfrac{1}{2} > 1
Pero B^n= \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(\begin{matrix} 1 & 20n \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)\to 0, por lo que el metodo converge.


2)a)
Resolución
Supongamos x\in [x_i, x_{i+1}], entonces la cota para interpolar por lineales es:
f(x)-l(x) = \dfrac{f''(\xi)}{2!}(x-x_i)(x-x_{i+1})
Como x\in [x_i, x_{i+1}], |x-x_i|\leq h_i \leq h_M y |x-x_{i+1}|\leq h_i \leq h_M, entonces:
||f-l||_{\infty,[a,b]}\leq \tfrac{h_M^2}{2} ||f''||_{\infty,[a,b]}

b)
Resolución
Supongamos x\in [x_i, x_{i+1}], en ese intervalo vale:
l(x) = (x-x_i)\dfrac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i} + f(x_i) \Rightarrow
\Rightarrow l'(x) = \dfrac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}, que por Lagrange es igual a f'(\xi), \xi \in [x_i, x_{i+1}]
Entonces:
|f'(x)-l'(x)| = |f'(x)-f'(\xi)|, nuevamente por Lagrange,
|f'(x)-l'(x)| = |f''(\theta)|\cdot |x-\theta|, como x,\theta\in [x_i,x_{i+1}],\ |x-\theta|\leq h_i \leq h_M \Rigtharrow
\Rightarrow ||f'-l'||_{\infty,[a,b]}\leq h_M ||f''||_{\infty,[a,b]}


3)a)
Resolución
T_k = \cos(k\cos^{-1} x)
Tomando y=\cos ^{-1} x,\ T_k = \cos(ky)
\langle T_n,T_m\rangle = \displaystyle \int_{-1}^1 T_nT_m\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx
Si hacemos el cambio de variables y =cos^{-1}x \Leftrightarrow x=\cos y
\langle T_n,T_m\rangle = \displaystyle \int_0^\pi \cos(ny)\cos(my) \dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(y)}} |sen(y)|\ dy = \int_0^\pi \cos(ny)\cos(my) \dfrac{|sen(y)|}{|sen(y)|} \ dy =  \int_0^\pi \cos(ny)\cos(my)\ dy
Como la funcion \cos(ny)\cos(my) es par,
\langle T_n,T_m\rangle = \displaystyle \int_0^\pi \cos(ny)\cos(my)\ dy = \dfrac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi \cos(ny)\cos(my)\ dy = \dfrac{1}{2} 0 = 0 \Rightarrow T_n \perp T_m

b)
Resolución
Para que la cuadratura tenga presición máxima, debe interpolar en los ceros del polinomio ortogonal. En nuestro caso, como queremos dos nodos, queremos los ceros de T_2:
x_0 = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} y x_1 = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{-2}}{2}
Las cuadraturas gaussianas de n+1 nodos tienen presición 2n+1, entonces la nuestra tiene presición 3


4)
Resolución
Recordemos que si nuestro metodo multipaso es \alpha_0y_n+\alpha_1y_{n+1}+\cdots+\alpha_Ny_{n+N} = h(\beta_0f_n+\beta_1f_{n+1}+\cdots+\beta_Nf_{n+N}) y ademas y es lo suficientemente regular podemos expresar a h\tau como:
h\tau= C_0 y(t) + C_1 y'(t) + C_2 \tfrac{y''(t)}{2!} + \cdots
Donde:
C_0 = \displaystyle \sum_{i=o}^N \alpha_i
C_1 = \displaystyle \sum_{i=o}^N i\alpha_i - \sum_{i=o}^N \beta_i
C_q = \displaystyle \dfrac{1}{q!}\sum_{i=o}^N i^q\alpha_i - \dfrac{1}{(q-1)!}\sum_{i=o}^N i^{q-1}\beta_i

Para que el metodo sea convergente es suficiente que C_0=C_1=0 (consistencia (NOTA: si uno define los polinomios p(x)=\sum\alpha_j x^j y q(x)=\sum\beta_j x^j estas condiciones son totalmente equivalentes a p(1)=0 y p'(1)=q(1))) y la condición de la raiz.
En nuestro metodo: \alpha_0 = -a, \alpha_1 = 0, \alpha_2 = 1, \beta_0 = \tfrac{1}{3}, \beta_1 = \tfrac{b}{3} y \beta_2 = \tfrac{1}{3}

C_0 = 0 \Leftrightarrow \alpha_0+\alpha_1+\alpha_2 = 0 \Leftrightarrow 1-a = 0 \Leftrightarrow a=1
C_1 = 0 \Leftrightarrow 0\alpha_0+1\alpha_1+2\alpha_2 - (\beta_0+\beta_1+\beta_2)  = 0 \Leftrightarrow 2-(\tfrac{1}{3}+\tfrac{b}{3}+\tfrac{1}{3}) = 0 \Leftrightarrow b=4

Con a=1, b=4 el metodo es consistente, falta ver condicion de la raiz:
p(x)=0 \Leftrightarrow x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=-1
Ambas raices son simples y tienen modulo 1 por lo que cumplen la Condicion de la Raiz. (Recordar la condicion era raices simples modulo menor o igual a 1, raices multiples modulo menor a 1)
Luego el metodo es convergente.

Falta ver el orden

El metodo tiene orden q si C_0=C_1=\cdots=C_q = 0 y C_{q+1}\not= 0
Ya vimos C_0 = C_1 = 0
C_2 = \dfrac{1}{2!}((-1)\cdot 0^2 + 1 \cdot 2^2) - \left(0\dfrac{1}{3}+1\dfrac{4}{3}+2\dfrac{1}{3}\right) = 2-2 = 0
C_3 = \dfrac{1}{3!}((-1)\cdot 0^3 + 1 \cdot 2^3) - \dfrac{1}{2!}\left(0^2\dfrac{1}{3}+1^2\dfrac{4}{3}+2^2\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3} = 0
C_4 = \dfrac{1}{4!}((-1)\cdot 0^4+ 1 \cdot 2^4) - \dfrac{1}{3!}\left(0^3\dfrac{1}{3}+1^3\dfrac{4}{3}+2^3\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{16}{24}-\dfrac{1}{6} \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3} \right)= \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} = 0
C_5 = \dfrac{1}{5!}((-1)\cdot 0^5+ 1 \cdot 2^5) - \dfrac{1}{4!}\left(0^4\dfrac{1}{3}+1^4\dfrac{4}{3}+2^4\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{32}{120}-\dfrac{1}{24} \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3} \right)= \dfrac{4}{15}-\dfrac{5}{18} \not= 0

Luego el metodo tiene orden 4.


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 27 Feb 2010, 02:14 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
miiiiiiiiiiiil gracias nachoo! :) las soluciones no las miro hasta la semana que viene, jaja :)



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 06 Mar 2010, 15:25 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
no se quien sos pero sos un genio !!! (Y)


GRACIAS!!!!!


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 06 Mar 2010, 15:57 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
una pregunta....

vos cursaste con acosta? porque el punto 2, ni idea... yo la cursé con armentano y me pa que no está eso en la teoría.

gracias


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 06 Mar 2010, 18:32 
1er Licenciado
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
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a mi mepa que no necesitas mucha teoria...
Resolución
Considera las desigualdades en cada intervalo [x_i, x_{i+1}]



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Quimey
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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 07 Mar 2010, 01:56 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
yo también me desesperé un poco cuando lo leí, pero me parece que es acotar el error en los intervalos y nada más... igual todavía no lo intenté, capaz que nada que ver. todavía no terminé con la teoría, me estoy volviendo loca con multipaso, no lo puedo entender :(



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 07 Mar 2010, 13:03 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
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que parte no entendes?


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 07 Mar 2010, 13:40 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
no, en verdad creo que puedo resolver un ejercicio típico (como este), lo que siento es que es el tema que más flojo tengo "conceptualmente", o sea, no lo entiendo en profundidad, solo puedo aplicarlo :p
recién terminé con toda la teoría, (de entenderla, no de saber todas las demos :p)
ahora me voy a poner a hacer ejercicios modelo de cada tema, y después a aprennder los teoremas, y después a hacer finales viejos.
y ahora me voy a dejar de desvirtuar :P



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 16:37 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
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2)...

Lo que no entendía (y creo qe ahora si) es "la función lineal a trozos"

Sería una poligonal que une los puntos P1 con P2, P2 con P3 y así... donde P_i=(x_i,f(x_i))?

O sea una interpolación lineal a trozos... ¿es eso o estoy mal?


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 17:25 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
hola de nuevo...

se comprende todo lo que hace "nachito" en el punto 1 b) pero tengo una dificultad apenas iniciado el ejercicio.

¿y si k no es natural? no se, digo por ej k=pi... no podés ir "saltando" de a pi elementos. Salvo que en la hipotesis se agregue eso, pues la hipótesis asegura la existencia d un k pero no dice qe sea entero

¿alguien me ayuda con esto?

Además... tampoco veo la relación y_{n+1}=B^ky_n yo más bien llego a algo así:

y_{n+1}=B^ky_n+(\sum_{j=0}^nB^j).b o podría pensarse:
y_{n+1}=B^ky_n+b' total el término indep no importa demasiado... aunque para la convergencia capaz q si. ¿qe onda? ¿me equivoqué? ayuda con estooo1!!


Última edición por ALE el 14 Mar 2010, 17:46, editado 1 vez en total

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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 17:45 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
yo la verdad no lo hice como lo hizo nacho, porque.. nada, ni ahí se me ocurre algo así, que involucre tantas sucesiones xd
supongo que algún error tendrá hacerlo así, pero yo lo que hice fue decir que , para algún n muy grande (más grande que k),

Resolución
||{e}_{n}||<||{B}^{n}{e}_{0}||=||{({B}^{k})}^{\frac{n}{k}}{e}_{0}||<||{B}^{k}||^{n/k}||{e}_{0}|| \longrightarrow 0cuando n \rightarrow \infty porque k está fijo y ||{B}^{k}||<1 por hipótesis



bueno, yo lo había pensado así, es mucho menos sofisticado pero también me resultó más natural con el tipo de demos que se hacen en la materia (seguro la de nacho es mucho más elegante, pero yo ni la entiendo :( jaja), así que por favor si alguien quiere contarme qué les parece...



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 17:58 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
Claaaaaaaaaaaro así si...

además acá vale para cualquier cá, y se ve clarito cómo necesitas que sea mayor o igual q uno... sino B^k se complica....

buenísimooo!! (Y) gracias

para mi está bien eh...


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 18:15 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
1 c)

en lugar de calcular B^n yo lo que hice fue usar que el radio espectral es menor qe uno, para una matriz muuuuy parecida (nomás que puse 5 en lugar de 10)

La diferencia es que la condición del radio espectral es necesaria y suficiente para que el método converja, en cambio la condición de que la norma sea <1 es sólo suficiente.

Así me ahorré un par de cuentas.. pues se ve clarito que el radio espectral es 1/2 y qe la norma infinito, o la uno, para el caso es lo mismo, es mayor que uno.

¿que les parece? ta bien, no?


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 18:46 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
Buenísimo que te haya parecido bien lo del 1-b)!
lo que decís del 1-c) me parece lógico, la verdad no se me ocurrió (tampoco se me ocurrió lo que hizo nacho igual u.u). Lo que hizo nacho así tal cual está hecho en el apunte (especulación: habría que mirar todos los ejemplos del apunte porque puede tomar alguno,jaja)



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 20:59 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
el 3 b mepa que está mal

T_2 no es el polinomio ortogonal... es el de tchevishev. El ortogonal me da otra cosa... conmás y menos ra[iz de dos sobre pi

me voy a jugar y vuelvo y lo escribo bien suerte


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 21:21 
Doctor
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Registrado: 09 Ago 2008, 19:30
Mensajes: 380
por lo que sé nacho se sacó 10, así que no debe estar mal :p
igual.. fijate que en el 3) a) probás que los polinomios de Tchebychev son, justamente, ortogonales para ese PI. Y como no necesitás hacer Gram-Schmidt porque ya tenés una Base Ortogonal, justamente los {T}_{k}, no hace falta normalizarlos porque... bueno, lo que necesitás son las raíces, así que sirven sin normalizar. (uno en general normaliza sólo para haer GS)



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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 22:46 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
Pero son ortogonales entre si, y Además esas dos funciones no generan P_2 como se querría

o sea T_m y T_n forman un conjunto ortogonal, que es base de un subespacio que no es P_2,

Cómo aseguras la precisi[on de la cuadratura con funciones que no son polinomios, si la definición de precisión (al menos la que yo tengo) es a partir de polinomios??

no entiendo !!


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 Asunto: Re: [Resuelto] Final - 23/02/10
NotaPublicado: 14 Mar 2010, 23:24 
Profesor

Registrado: 08 Ago 2008, 21:57
Mensajes: 299
a ver... ahora me esta cerrando un poco más...

como T_n y T_m son ortogonales para valores distintoosde m y n sería que T_2 es orto a T_1 y a T_0 y esos tres son generadores de P_2 pues tienen grados 2 1 y 0.. ahora siii!!!!

listo!! gracias


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