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 Asunto: Consulta de teorema no demostrado dado en la teorica
NotaPublicado: 10 Ago 2009, 18:33 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
El teorema dice:

Dada A \in \mathbb{R}^{n*n} si DetA(k) \neq 0 donde A(k)es el menor principal de orden k de A, entonces a_{kk}^{(k)} \neq 0 (donde a_{kk}^{(k)} denota el valor que tiene A en su diagonal luego de hacer el paso k de elminacion gaussiana)

Se supone q cuando uno prueba esto puede probar que existen L y U talque A=L.U

El tema con la demostracion es q la profesora la dejo para q la hagamos nosotros,y nos sugirio probarlo por induccion en k.
Alguien lo hizo?? Yo lo pense pero me trabo en la parte de la hipotesis inductiva y no se como seguir. Mi duda es:
Resolución
Cuando tengo q hacer k-1 \Rightarrow k supongo q ya tengo mi matriz A del paso k ( A^{(k)}) y me fijo q si el determinante es 0 entonces el a_{kk} es cero?????


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 Asunto: Re: Consulta de teorema no demostrado dado en la teorica
NotaPublicado: 11 Ago 2009, 01:02 
Ayudante de Segunda
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Registrado: 13 May 2008, 17:55
Mensajes: 98
no se si esta bien esto:

Resolución
yo se que a_{11}^{(1)} \neq 0....a_{k-1k-1}^{(k-1)} \neq 0 por HI entonces multiplicando a izquierda por las matrices {L}_{k-1}...{L}_{1}.A={A}^{(k)} que seria la matriz A triangulada hasta tener ceros abajo de a_{k-1k-1}^{(k-1)} y, siguiendo en la diagonal, a_{kk}^{(k)}.
entonces tengo que A={{L}_{1}}^{-1}...{{L}_{k-1}}^{-1}.{A}^{(k)}
llamoL={{L}_{1}}^{-1}...{{L}_{k-1}}^{-1} que es una matriz triangular inferior con 1's en la diagonal.
ahora esto es lo que no estoy muy segura de que valga pero bueno:
A(k)=L(k).{A}^{(k)}(k) es el menor principal donde {A}^{(k)}(k) resulta ser una matriz triangular inferior con a_{jj}^{(j)} j=1,...,k en la diagonal donde para j=1,...,k-1 es distinto de cero pero no se si a_{kk}^{(k)} \neq 0
entonces 0 \neq det(A(k))=det(L(k)).det({A}^{(k)}(k))=det({A}^{(k)}(k))=a_{11}^{(1)}...a_{k-1k-1}^{(k-1)}.a_{kk}^{(k)} pues det(L(k))=1 x tener 1's en la diag
como cada a_{jj}^{(j)} j=1,...,k-1 es distinto de cero, resulta a_{kk}^{(k)} \neq 0


vos que opinas sobre la parte de menor principal A(k)? valdra?


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 Asunto: Re: Consulta de teorema no demostrado dado en la teorica
NotaPublicado: 17 Ago 2009, 18:13 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
me parece que arrancas mal. O sea, cuando decis :"yo se que a_{11}^{(1)} \neq 0....a_{k-1k-1}^{(k-1)} \neq 0 por HI...." te estas equivocando me parece; porq lo q afirmas pasa si los (k-1) menores son positivos....o estoy equivocado???Para mi hay q armarse algo de n*n q sepas q tiene los (n-1) menores positivos y de ahi afirmas la HI...

marcelooooooo ayudaaaaaaaaaaaa!!!!!!!!!!!!!!!


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 Asunto: Re: Consulta de teorema no demostrado dado en la teorica
NotaPublicado: 18 Ago 2009, 02:28 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Lo que tratás de probar es que los {a}_{kk}^{k}\neq 0 por inducción. Entonces, el razonamiento inductivo sería:
-para k\eq=1 vale. Esto es cierto pues \det (A(1))\eq={a}_{11}\neq 0 por hipótesis
-si vale para j<k entonces vale para k(o sea, una inducción completa). En este caso la hipótesis inductiva es "los {a}_{ii}^{k-1}\neq 0\forall 1\leq i<k.

Hasta el paso k-1, por hipótesis inductiva los {a}_{ii}^{k-1}\neq 0,1\leq i\leq k-1. Entonces, procedes al paso k-ésimo por eliminación gaussiana. Como lo que hacés es sumar múltiplos de otras filas no cambía en el proceso el valor del \det (A(k)). Luego, en el paso k-ésimo el determinante se conserva y como lo que tenés es una matriz triangular superior(hasta la fila k-ésima) ese determinante es \prod_{i\eq=1}^{k} {a}_{ii}^{k} y deducís(al ser el determinante no nulo y por H.I cada {a}_{ii}^{k}\neq 0 para i<k pues {a}_{ii}^{k}\eq={a}_{ii}^{k-1} para i<k) que el último {a}_{ii}\neq 0. O sea, más o menos lo que dijo Diana. Lo de que los menores sean positivos lo usás para verificar que sea definida positiva y admita descomposición por Cholesky(un tipo particular de descomposición L.U, o si se quiere un corolario de la diagonalización de formas bilineales definidas positivas)



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 Asunto: Re: Consulta de teorema no demostrado dado en la teorica
NotaPublicado: 18 Ago 2009, 10:56 
Ayudante de Primera
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Registrado: 25 Sep 2008, 16:14
Mensajes: 159
gracias marce, me nuble con la induccion!!!
perdon diana por corregirte lo q estaba bien ;)


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