Tengo los siguientes 2 problemas :
Es una masa puntual (y el planteo es para antes que toque el resorte. Datos :
.Las cosas en colores son agregados mios.):
Tengo que encontrar el potencial gravitatorio:
La fuerza
queda descompuesta en
e
como:
\hat{x}-mgcos(\alpha)\hat{y} "\overrightarrow P = -mgsen(\alpha)\hat{x}-mgcos(\alpha)\hat{y}")
Pero defini otro versor (
), entonces el peso queda como (es para simplicar cuentas, se va a poner feo mas adelante, en el siguiente problema):
(Esto lo voy a usar mas adelante, pero
x "h=sen(\alpha)x")
)
Entonces, si el peso es una fuerza conservativa, puedo escribir al peso como menos el grandiente de una función:
 "\overrightarrow P =-\overrightarrow{\nabla} U(h)")
}{dh}\hat{h} "\Rightarrow -mg\hat{h}=- \frac {dU(h)}{dh}\hat{h}")
O sea me quedo el gradiente en un solo versor, porque el peso estaba en ese versor nada mas (y la funcion va a depender de la variable de ese versor nada mas, en este caso, la variable es
)
}{dh}\Rightarrow dU = mg\ dh\Rightarrow \int^{U(h)}_{U(h_{0})}dU=\int^{h}_{h_{0}}mg\ dh "\Rightarrow -mg =-\frac{dU(h)}{dh}\Rightarrow dU = mg\ dh\Rightarrow \int^{U(h)}_{U(h_{0})}dU=\int^{h}_{h_{0}}mg\ dh")
-U(h_{0})=mg(h-h_{0})\Rightarrow U(h)=mg(h-h_{0})+ U(h_{0}) "\Rightarrow U(h)-U(h_{0})=mg(h-h_{0})\Rightarrow U(h)=mg(h-h_{0})+ U(h_{0})")
Queria saber en este problema si las manera que exprese el gradiente de la funcion esta bien (porque con el gradiente son derivadas parciales)
El problema 2 consiste en el siguiente esquema, y se trata de un cuerpo rigido:
Datos:
. Los ejes los pusieron de esa manera.
Entonces el peso me queda escrito como:
\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y} "\overrightarrow P=Mgsen(\alpha)\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y}")
Mi primer pregunta es, si puedo encontrar un
!["h"](http://www.ubacs.com.ar/foro/cgi-bin/mathtex.cgi?"h" "\"h\"")
en este problema, que dependa de alguna variable (ó de las 2)
e
.
Bueno ese no es el problema principal, la cosa es cuando quiero ver si la fuerza es conservativa:
\Rightarrow Mgsen(\alpha)\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y}= -\left(\frac{dU(x,y)}{dx},\frac{dU(x,y)}{dy}\right) "\overrightarrow P =- \overrightarrow{\nabla}U(x,y)\Rightarrow Mgsen(\alpha)\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y}= -\left(\frac{dU(x,y)}{dx},\frac{dU(x,y)}{dy}\right)")
¿Como resuelvo esto que me quedo?
¿Resuelvo por versores y luego sumo las soluciones?
En la practica lo que hacian cuando quedaba un potencial con 2 variables era:
 "\overrightarrow P =- \overrightarrow{\nabla}U(x,0)")
Hacian esto porque en el eje
no habia movimiento.
Entonces con esto mandaban que
=-Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+U(x_{0},0) "U(x,0)=-Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+U(x_{0},0)")
Igual esto mas que para el peso, lo usaban para fuerzas gravitatorias que dependian de 2 variables.
Si lo resuelvo igualando versor a versor, entonces en
me queda:
 =-\frac{dU(x,y)}{dx}\Rightarrow dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\ dx "Mgsen(\alpha) =-\frac{dU(x,y)}{dx}\Rightarrow dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\ dx")
}_{(x,y)}dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\int^{x}_{x_{0}}dx "\Rightarrow \int^{(x,y)}_{(x,y)}dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\int^{x}_{x_{0}}dx")
Y aca con esta integral mande fruta con los limites de integracion. Del lado derecho me depende solo de
, pero del lado izquierdo no, aunque solo estoy intengrando en funcion de
del lado derecho de la igualdad. ¿Esto esta bien?
El mismo razonamiento intentaria para sacar el potencial en
.
Punto y aparte de todo lo que dije.En si el potencial me quedaria:
 = -Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+Mgcos(\alpha)(y-y_{0}) "U(x,y) = -Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+Mgcos(\alpha)(y-y_{0})")
Menos el gradiente de esta funcion me da el peso, con lo que llego a lo que yo queria.
Encima como
para todo tiempo, el potencial solo termina dependiendo (como era obvio) de
.
Mi duda como siempre, es que nose como llegar formalmente a este resultado.
Se agradece todo tipo de ayuda : p .Saludos!
