Tengo los siguientes 2 problemas :
Es una masa puntual (y el planteo es para antes que toque el resorte. Datos :

.Las cosas en colores son agregados mios.):

Tengo que encontrar el potencial gravitatorio:
La fuerza

queda descompuesta en

e

como:
\hat{x}-mgcos(\alpha)\hat{y})
Pero defini otro versor (

), entonces el peso queda como (es para simplicar cuentas, se va a poner feo mas adelante, en el siguiente problema):

(Esto lo voy a usar mas adelante, pero
x)
)
Entonces, si el peso es una fuerza conservativa, puedo escribir al peso como menos el grandiente de una función:
)
}{dh}\hat{h})
O sea me quedo el gradiente en un solo versor, porque el peso estaba en ese versor nada mas (y la funcion va a depender de la variable de ese versor nada mas, en este caso, la variable es

)
}{dh}\Rightarrow dU = mg\ dh\Rightarrow \int^{U(h)}_{U(h_{0})}dU=\int^{h}_{h_{0}}mg\ dh)
-U(h_{0})=mg(h-h_{0})\Rightarrow U(h)=mg(h-h_{0})+ U(h_{0}))
Queria saber en este problema si las manera que exprese el gradiente de la funcion esta bien (porque con el gradiente son derivadas parciales)
El problema 2 consiste en el siguiente esquema, y se trata de un cuerpo rigido:

Datos:

. Los ejes los pusieron de esa manera.
Entonces el peso me queda escrito como:
\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y})
Mi primer pregunta es, si puedo encontrar un

en este problema, que dependa de alguna variable (ó de las 2)

e

.
Bueno ese no es el problema principal, la cosa es cuando quiero ver si la fuerza es conservativa:
\Rightarrow Mgsen(\alpha)\hat{x}-Mgcos(\alpha)\hat{y}= -\left(\frac{dU(x,y)}{dx},\frac{dU(x,y)}{dy}\right))
¿Como resuelvo esto que me quedo?
¿Resuelvo por versores y luego sumo las soluciones?
En la practica lo que hacian cuando quedaba un potencial con 2 variables era:
)
Hacian esto porque en el eje

no habia movimiento.
Entonces con esto mandaban que
=-Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+U(x_{0},0))
Igual esto mas que para el peso, lo usaban para fuerzas gravitatorias que dependian de 2 variables.
Si lo resuelvo igualando versor a versor, entonces en

me queda:
 =-\frac{dU(x,y)}{dx}\Rightarrow dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\ dx)
}_{(x,y)}dU(x,y)=-Mgsen(\alpha)\int^{x}_{x_{0}}dx)
Y aca con esta integral mande fruta con los limites de integracion. Del lado derecho me depende solo de

, pero del lado izquierdo no, aunque solo estoy intengrando en funcion de

del lado derecho de la igualdad. ¿Esto esta bien?
El mismo razonamiento intentaria para sacar el potencial en

.
Punto y aparte de todo lo que dije.En si el potencial me quedaria:
 = -Mgsen(\alpha)(x-x_{0})+Mgcos(\alpha)(y-y_{0}))
Menos el gradiente de esta funcion me da el peso, con lo que llego a lo que yo queria.
Encima como

para todo tiempo, el potencial solo termina dependiendo (como era obvio) de

.
Mi duda como siempre, es que nose como llegar formalmente a este resultado.
Se agradece todo tipo de ayuda : p .Saludos!