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 Asunto: Consulta de un final de AMI
NotaPublicado: 24 Feb 2013, 12:16 
Vago

Registrado: 24 Feb 2013, 12:00
Mensajes: 13
Muchachos, les hagos una consulta.
Tengo una función de R2---->R de clase C1 que me dan el gradiente en el origen y el valor de la imagen en el origen (f(0;0)=1). Me dan tambien una función (V(t)) definida de R---->R de clase Cinfinito y me las componen de manera tal de que f(v(1/2))=1. El ejercicio tiene dos items.
¿Es cierto que existen infinitos puntos (xy) tales que f(xy)=1?
Eso es cierto. Primero: el gradiente de f en (0;0) no es nulo, por lo tanto descarto que f sea extremo local. Mi idea es decir "bueno, como f es continua en Z=1 se define una curva de nivel". Pero no sé cómo escribirlo elegante.
El segundo dice que calcule la derivada de la composición en 1/2, y hecho eso hay que probar que la composición es creciente entorno al 1/2.
Mi idea ahí es decir "bueno, la derivada de la composición es continua, por lo tanto, como el valor de la derivada de la composición es = 3 > 0, existe r>0 tal que g'(x0)>0 con x0 que pertenece a (1/2-r; 1/2+r). Eso implica que g es creciente en ese entorno.
¿Está bien?
Gracias muchachos.


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 Asunto: Re: Consulta de un final de AMI
NotaPublicado: 24 Feb 2013, 20:19 
Ayudante de Segunda

Registrado: 26 Abr 2012, 09:13
Mensajes: 99
Hola.

Por favor, antes que nada, trata de escribir en Tex los enunciados de los ejercicios y que esten lo mas claro posibles. Si no te los acordas bien, trata aunque sea de ser mas formal, pues algunas cosas las tuve que adivinar (no lo tomes a mal, es para poder ayudarte mejor!). Incluso no entiendo la composicion "f(v(t))" pues f:{\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R} y v:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} segun lo que escribiste ahi, entonces la composicion no tiene sentido

Para la primera parte, hay que usar el teorema de la funcion implicita. Vos dijiste que \bigtriangledown f(0,0) \neq (0,0), entonces por el teorema de la funcion implicita (supongo que despejo y en funcion de x), existen entornos abiertos A \subset \mathbb{R}, \, B \subset {\mathbb{R}}^{2} (A un entorno al 0 y B un entorno al (0,0)), y una funcion continuamente diferenciable g:A \rightarrow \mathbb{R} tal que g(x)=y, g'(x)=-\frac{{f}_{x}(x,g(x))}{{f}_{y}(x,g(x))} y f(x,g(x))-1=0 \forall x \in A, donde g(0)=0.

Luego, como los entornos son abiertos, tienen infinitos puntos, por lo que hay infinitos puntos que satisfacen f(x,g(x))-1=0, que es lo que querias probar.

Para la segunda parte supongo que haces regla de la cadena y despues usas la continuidad de las derivadas para decir que mantienen el signo en un entorno, luego la funcion sera creciente o decreciente en ese entorno (lo que te pida...)

Saludos!


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