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Autor Mensaje
 Asunto: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 11 May 2012, 13:59 
Vago

Registrado: 17 Mar 2011, 23:04
Mensajes: 13
Me gustaría saber si esta bien lo que hice

Analizar la existencia de límite en el origen para
f(x,y) = \frac{e^{x^2 + y^3} - 1}{xy - x +y^2}
Resolución
Primero averiguo cuanto vale f(0,0); Como f(0,0) = \frac{0}{0} me fijo por el límite a donde debería tender, para eso elijo una recta que pase por (0,0), por ejemplo (0,y). Calculo entonces \lim_{y \to 0}{\frac{e^{y^3} - 1}{y^2}}

\lim_{y \to 0}{\frac{e^{y^3} - 1}{y^2}} = \lim_{y \to 0}{\frac{e^{y^3}y^2}{y}\frac{3}{2}} por L'Hopital
\Rightarrow \lim_{y \to 0}{\frac{e^{y^3}y^2}{y} \cdot \frac{3}{2}} = \lim_{y \to 0}{e^{y^3}y \cdot \frac{3}{2}} = 0 \cdot 0 \cdot \frac{3}{2} = 0

Luego, si existe el límite en el origen, éste es 0

Por definición de límite sé que \lim_{(x,y) \to (0,0)}{f(x,y) = \frac{e^{x^2 + y^3} - 1}{xy - x +y^2}} = 0 \, \iff \, \forall \, \varepsilon > 0,\, \exists \, \delta > 0 \; / \; \|(x,y) - (0,0)\| < \delta \implies \left| \frac{e^{x^2 + y^3} - 1}{xy - x +y^2} - 0 \right| < \varepsilon

\Rightarrow \; \left| \frac{e^{x^2 + y^3} - 1}{xy - x +y^2} \right| =<br />\left| \frac{e^{x^2 + y^3} - e^{0^2 + 0^3}}{xy - x +y^2} \right| =<br />\frac{| e^{x^2 + y^3} - e^{0^2 + 0^3} |}{| xy - x +y^2 |}

El teorema del valor medio dice que | f(a) - f(b) | = f'(c)|a - b|, con c entre a y b si f es derivable.
Como e^x es derivable, uso el TVM y digo que | e^{x^2 + y^3} - e^{0^2 + 0^3} | = e^c | x^2 + y^3 - 0^2 - 0^3 | con 0 \leq c \leq x^2 + y^3 pues como estoy en un entorno del (0,0) puedo decir que y < 1 \, \wedge \, x < 1 \, \implies \, x^2 > y^3

\Rightarrow \frac{| e^{x^2 + y^3} - e^{0^2 + 0^3} |}{| xy - x +y^2 |} \leq<br />\frac{e^c | x^2 + y^3 |}{| xy - x +y^2 |} \leq<br />\frac{e^c |x^2| + |y^3|}{|x||y - 1| + |y^2|}

Como e^x > 0 \; \forall \, x \in \mathbb{R} \implies \exists \, c \in \mathbb{R} / |y-1| < e^c donde ese c es el c que me sale del TVM
Como |x| \leq \|(x,y)\| \, \wedge \, |y| \leq \|(x,y)\|

\Rightarrow \frac{e^c |x^2| + |y^3|}{|x||y - 1| + |y^2|} \leq<br />\frac{e^c \delta^2 + \delta^3}{\delta e^c + \delta^2} \leq<br />\delta \cdot \frac{e^c \delta + \delta^2}{\delta e^c + \delta^2} = \delta < \varepsilon



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 11 May 2012, 16:01 
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Registrado: 25 Mar 2012, 17:09
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la ultima cota esta mal \frac{e^c | x^2 + y^3 |}{| xy - x +y^2 |} \leq<br />\frac{e^c |x^2| + |y^3|}{|x||y - 1| + |y^2|} igual no sabia se usaba lo del valor medio para esto xd. Fijate q tu denominador del primer termino es MENOR que el del segundo por eso esta mal



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 11 May 2012, 17:03 
Estudiante

Registrado: 25 Mar 2012, 17:09
Mensajes: 27
fijate aca te puede servir, use una cota de este machete y me salio http://c086cb4d-a-62cb3a1a-s-sites.goog ... edirects=0



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 11 May 2012, 17:36 
Estudiante

Registrado: 25 Mar 2012, 17:09
Mensajes: 27
proba con la recta (t^2,t)



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 12 May 2012, 00:11 
Profesor
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Karpov escribió:
proba con la recta (t^2,t)


Acercándote por esa curva ((t^2,t) NO es una recta!!) el límite da 1, luego el límite que buscás no existe.



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 Ej.20
NotaPublicado: 13 May 2012, 03:47 
Estudiante

Registrado: 25 Mar 2012, 17:09
Mensajes: 27
Bueno che es la costumbre! xd



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