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 Asunto: Practica 1 ejercicio 16
NotaPublicado: 07 Feb 2011, 17:56 
Ayudante de Primera

Registrado: 13 May 2008, 22:57
Mensajes: 160
Ubicación: Gonzalez Catan
Sea a_0 > 0. Se define la siguiente sucesión dada por recurrencia:
{a}_{n+1} = \sin({a}{_n})
Probar que {\{ {a}_{n} \} }_{n} es una sucesión convergente y calcular su limite

Se que una sucesion converge si es acotada y monotona
en este caso, la funcion seno es acotada, como pruebo que es monotona? deberia ver que
{a}_{n+1}>{a}_{n} o {a}_{n+1}<{a}{n} para algún n?


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 Asunto: Re: Practica 1 ejercicio 16
NotaPublicado: 09 Feb 2011, 06:13 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Resolución
Antes que nada, para tener alguna idea, es bueno probar un poco con algunos valores para ver qué pasa con el resultado(vale decir, calcular \sin({a}_{1}),\sin(\sin({a}_{1})) y así).
El teorema del valor medio dice, para un función f buena(esto es, continua en un intervalo [a,b] y derivable en (a,b), condiciones que la función \sin cumple) vale para x,y\in [a,b] que f(x)-f(y)=f'(c)(x-y) con c\in (a,b). Aplicado a este caso:
{a}_{n+1}-{a}_{n}=\sin({a}_{n})-{a}_{n}=\sin({a}_{n})-\sin({a}_{n-1})=\cos(c)({a}_{n}-{a}_{n-1})
Con esta último igualdad el ejercicio está más o menos encaminado; hay que terminarlo usando un argumento inductivo(la idea de aplicar ahora el mismo razonamiento con la diferencia {a}_{n}-{a}_{n-1}).

Lo que dije antes, lo de usar el valor medio, es útil, pero en este caso, se puede recurrir a un resultado más práctico. Consideramos {a}_{1}>0 y tomamos {a}_{2}=\sin({a}_{1}). Nos preguntamos si {a}_{1}\leq {a}_{2} o {a}_{1}\geq {a}_{2}(podría no ocurrir alguna de las dos). La pregunta anterior se traduce en ver si {a}_{1}\leq \sin({a}_{1}) o {a}_{1}\geq \sin({a}_{1}). Esta nueva pregunta la podemos traducir, si \sin({a}_{1})\neq 0, en \dfrac{{a}_{1}}{\sin({a}_{1})}\leq 1 o \dfrac{\sin({a}_{1})}{{a}_{1}}\leq 1. Recordando la desigualdad -1\leq \dfrac{\sin(x)}{x}\leq 1, queda que vale \dfrac{\sin({a}_{1})}{{a}_{1}}\leq 1 y por lo tanto {a}_{2}\leq {a}_{1}. En general, queremos ver {a}_{n+1}\leq {a}_{n} o sea \sin({a}_{n})\leq {a}_{n}. Con el mismo razonamiento que antes, se tiene {a}_{n+1}\leq {a}_{n} si \sin({a}_{n})\neq 0. Si ocurriera por alguna razón que {a}_{n}=0 para algún n entonces \sin({a}_{n})=0 y los próximos términos serían todos nulos con lo que la sucesión a partir de un momento sería constantemente 0 y una sucesión así es convergente. Si nunca {a}_{n}=0 entonces por lo anterior {a}_{n+1}\leq {a}_{n} para todo n luego se trata de una sucesión decreciente acotada y por lo tanto resulta convergente.


Perdón si me extendí demasiado. Cualquier duda comentá.



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