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Autor Mensaje
 Asunto: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 06 Ene 2010, 14:19 
Vago

Registrado: 05 Abr 2009, 19:03
Mensajes: 8
Hola, me dan una mano para probar este límite?

\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}ye^x=1


Última edición por hernymet el 07 Ene 2010, 14:55, editado 1 vez en total

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 Asunto: Re: [No Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 07 Ene 2010, 13:01 
Estudiante
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Registrado: 07 Oct 2009, 15:23
Mensajes: 32
Como el limite de un producto es el producto de limites entonces tenes que probar que
\lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} e^x=1,el otro es fácil.
Como \lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)}\ln(e^x)=0(ese tambien es fácil de probar)se infiere que \lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} e^x=1.


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 Asunto: Re: [No Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 07 Ene 2010, 14:54 
Vago

Registrado: 05 Abr 2009, 19:03
Mensajes: 8
gracias!! no se me había ocurrido lo del ln.


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 08 Ene 2010, 12:29 
Ayudante de Primera

Registrado: 04 Jul 2008, 21:16
Mensajes: 119
Eso vale por la continuidad del logaritmo.


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 15 Ene 2010, 20:56 
Ayudante de Primera

Registrado: 13 May 2008, 22:57
Mensajes: 160
Ubicación: Gonzalez Catan
no entendí, no sale por definicion?


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 21 Sep 2010, 17:15 
Vago

Registrado: 20 Sep 2010, 18:09
Mensajes: 5
no se puede reemplazar directamente? es decir si reemplazo X por cero, y a Y por uno, te da uno.....la guia no pide probar por definicion


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 21 Sep 2010, 21:51 
Doctor
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Registrado: 25 Ago 2009, 12:04
Mensajes: 371
Ubicación: R^4
Si no me equivoco lo que vos decís se llama calcular el límite. Luego de calcularlo tenés que probarlo...



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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 26 Abr 2012, 11:19 
Vago

Registrado: 25 Abr 2012, 10:52
Mensajes: 8
algo que pense para resolverlo por definición:
| y e^x - 1 | = | y e^x - e^x + e^x - 1 | \leq |e^x (y-1)| + |e^x  - 1|
Como sabemos que |x| < \delta, si tomamos {\delta}_{aux} = 1 tenemos que |x|< 1
(vale lo siguiente?) : entonces {e}^{|x|} < e^1
luego la desigualdad nos queda:
|ye^x - 1| < e|y-1| + |e^x - 1|, no se muy bien como seguir acá, como se que e^x tiene a 1 cuando x tiente a cero entonces podria acotarlo por uno...
que alguien me corrija por favor :p

edit: el ejercicio no esta terminado


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 27 Abr 2012, 10:39 
Ayudante de Segunda

Registrado: 20 Abr 2011, 22:07
Mensajes: 75
No veo por qué querés demostrar por definición esto, si justamente tenés teoremas que te permiten usar álgebra y composición de límites para reducirlos a problemas más simples.

Si \,\, x \in I_{\delta}(0) con I un intervalo de radio \delta < 1 centrado en 0, entonces
x < 1, 0 \leq e^x < 1 con lo cual 0 < |e^x - 1| \leq 1


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 27 Abr 2012, 10:57 
Vago

Registrado: 25 Abr 2012, 10:52
Mensajes: 8
porque justamente el enunciado del ejercicio dice que hay que demostrarlo por definición, ya se que se puede hacer por algebra de limites pero supongo que la idea del ejercicio es que veamos distintas formas de acotar..., muchos demostraron seguro el item a por definicion pero ese salia tambien por algebra de limites.


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 27 Abr 2012, 12:23 
Ayudante de Segunda

Registrado: 20 Abr 2011, 22:07
Mensajes: 75
Ok, por definición querés ver que dado \epsilon > 0, existe \delta > 0 tal que

| ye^x - 1 | < \epsilon, siempre que (x,y) \in B_{\delta}((0,1)), (x,y) \in Dom(f)

Fijate que si acotás |e^x-1| por 1, no vas a poder probar que la distancia es tan chica como vos querés. Porque |ye^x - 1| < e^x|y-1| + |e^x - 1| < \delta + 1 > 1 para cualquier \delta > 0.


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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 29 Abr 2012, 10:04 
Estudiante

Registrado: 25 Mar 2012, 17:09
Mensajes: 27
|e^x-1| podés plantear que es menor a |2x| si |x|<1 que es el delta auxiliar que ya habias elegido antes. y sino podes plantear {\delta}_{0} sabiendo que para cada delta: |x|<\delta existe |e^x-1|<\epsilon, ahí elegís un \delta tal que \delta=\frac{\epsilon}{2} entonces en la cuenta esa que te habia quedado reemplazás |e^x-1| por \frac{\epsilon}{2} yo se que me expliqué mal pero bue xD



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 Asunto: Re: [Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
NotaPublicado: 28 Oct 2013, 17:37 
Vago

Registrado: 16 Jul 2013, 13:59
Mensajes: 14
Hola. Este ejercicio no lo había hecho. Lo vi y no me salia, viendo como lo resolvieron mas arriba no me quedaba claro porque acotar
|e^x -1|\leq |2x|? Pero al resolverlo llegue a lo mismo...

Resolución
Bueno nos dicen que \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)}ye^x\eq= 1
Probar eso por definición, bueno usando la definición de limite ||(x,y-1)||<\delta\longrightarrow\ |ye^x-1|<\epsilon
Luego sabemos por la desigualdad triangular que |x|<\delta y |y-1|<\delta es lo que uso al probar el limite.Bueno

|ye^x-1|= |ye^x-e^x+e^x-1|\leq |ye^x-e^x|+|e^x-1|=|e^x(y-1)|+\left |\frac{(e^x-1)x}{x}\right|
|e^x(y-1)|+\left |\frac{(e^x-1)x}{x}\right|\leq |e^x||y-1|+\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right||x|
Bueno si tomamos \delta<1 y |x|<\delta entonces |x|<1 y luego podemos acotar |e^x|
Luego |e^x|<e<3 entonces tomo como cota al 3

Para acotar \left |\frac{(e^x-1)}{x}\right| hay que ver que \lim_{x\rightarrow 0}\left |\frac{e^x-1}{x}\right|\eq=1
Creo que por eso podemos acotar por 2, luego creo que podemos afirmar \left |\frac{(e^x-1)}{x}\right|< |2|
cuando x\rightarrow0

Luego va quedando así |e^x||y-1|+\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right||x|\leq 3|y-1|+2|x|
Luego uso |x|<\delta y |y-1|<\delta

3|y-1|+2|x|< 3\delta + 2\delta = 5\delta <\epsilon
Luego tomo \delta \leq \{1,\frac{\epsilon}{5}\}

Resolución
Bueno hacemos una sustitución para ver \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}\eq=1
Tomo y=e^x-1, despejo x, se ve que \ {y\rightarrow0} _{x\rightarrow0}\
Donde x= ln(y+1), luego el limite nos queda \lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{ln(y+1)}\eq= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{ln(y+1)}{y}}\eq= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{ln((y+1)^\frac{1}{y})} \eq= \frac{1}{ln(e)} = 1


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