UBACS Q&A Foro WikiCS
Fecha actual 25 Abr 2018, 22:49

Todos los horarios son UTC - 3 horas




 Página 1 de 1 [ 15 mensajes ] 
Autor Mensaje
 Asunto: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 19 May 2008, 23:53 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Hola a todos. Quería proponer algunas maneras para deducir el término general de una sucesión definida recursivamente. Si bien suelen aparecer en los parciales, no es común en la práctica calcular algunos términos generales. Por eso, propongo los siguientes ejemplos y una técnica para resolver cada uno en particular.
EJEMPLO1: uso de desarrollos en base d

\textrm{Conjeturar\;una\;formula\;cerrada}\;para:}
{a}_{0}\eq =3,\;{a}_{1}\eq =5,\;{a}_{n}\eq ={a}_{n-1}}+2\cdot {a}_{n-2}-2,\;\forall\;\textrm{n}\in\mathbb{N}}_{\geq 2}
\textrm{Computemos\;los\;primeros\;terminos:}
{a}_{2}\eq =\;{a}_{1}+2\cdot {a}_{0}-2\eq =5+2\cdot 3-2\eq =9
{a}_{3}\eq =\;{a}_{2}+2\cdot {a}_{1}-2\eq =9+2\cdot 5-2\eq =17
{a}_{4}\eq =\;{a}_{3}+2\cdot {a}_{2}-2\eq =17+2\cdot 9-2\eq =33
\textrm{Algun\;patron?\;Veamos\;los\;desarrollos\;binarios:}
{a}_{0}\eq =3\eq ={(11)}_{2}\eq ={2}^{1}+1
{a}_{1}\eq =5\eq ={(101)}_{2}\eq ={2}^{2}+1
{a}_{2}\eq =9\eq ={(1001)}_{2}\eq ={2}^{3}+1
{a}_{3}\eq =17\eq ={(10001)}_{2}\eq ={2}^{4}+1
{a}_{4}\eq =33\eq ={(100001)}_{2}\eq ={2}^{5}+1
\textrm{Ahora\;se\;ve\;el\;patron\;mejor:}
{a}_{n}\eq ={2}^{n+1}+1
\textrm{Solo\;basta\;probar\;el\;paso\;inductivo\;que\;es\;sencillo}

EJEMPLO2: uso de congruencias

\textrm{Conjeturar\;una\;formula\;cerrada}\;para:}
{x}_{0}\eq ={x}_{1}\eq =2,\;{x}_{n}\eq =2\cdot {x}_{n-1}}+3\cdot {x}_{n-2},\;\forall\;\textrm{n}\in\mathbb{N}}_{\geq 2}
\textrm{Computemos\;los\;primeros\;terminos:}
{x}_{2}\eq =2\cdot {x}_{1}}+3\cdot {x}_{0}\eq =2\cdot2+3\cdot2\eq =10
{x}_{3}\eq =2\cdot {x}_{2}}+3\cdot {x}_{1}\eq =2\cdot10+3\cdot2\eq =26
{x}_{4}\eq =2\cdot {x}_{3}}+3\cdot {x}_{2}\eq =2\cdot26+3\cdot10\eq =82
{x}_{5}\eq =2\cdot {x}_{4}}+3\cdot {x}_{3}\eq =2\cdot82+3\cdot26\eq =242
{x}_{6}\eq =2\cdot {x}_{5}}+3\cdot {x}_{4}\eq =2\cdot242+3\cdot82\eq =730
\textrm{Algun\;patron?\;Veamos\;las\;congruencias\;modulo\;3:}
{x}_{2}\eq =10\equiv 1(3)\Leftrightarrow 3|10-1\eq =9\eq ={3}^{2}
{x}_{3}\eq =26\equiv (-1)(3)\Leftrightarrow 3|26+1\eq =27\eq ={3}^{3}
{x}_{4}\eq =82\equiv 1(3)\Leftrightarrow 3|82-1\eq =81\eq ={3}^{4}
{x}_{5}\eq =242\equiv (-1)(3)\Leftrightarrow 3|242+1\eq =243\eq ={3}^{5}
{x}_{6}\eq =730\equiv 1(3)\Leftrightarrow 3|730-1\eq =729\eq ={3}^{6}
\textrm{Ahora\;se\;ve\;el\;patron\;mejor:}
{x}_{n}\eq ={3}^{n}+{(-1)}^{n}
\textrm{Solo\;basta\;probar\;que\;dicha\;formula\;vale\;para}\;{x}_{0}\;,\;{x}_{1}
\textrm{y\;probar\;el\;paso\;inductivo\;que\;es\;sencillo}

EJEMPLO3: otros números conocidos y factorizacion

\textrm{Conjeturar\;una\;formula\;cerrada}\;para:}
{y}_{0}\eq =0,\;{y}_{1}\eq =3,\;{y}_{n}\eq ={y}_{n-1}}+{y}_{n-2}\;\forall\;\textrm{n}\in\mathbb{N}}_{\geq 2}
\textrm{Computemos\;los\;primeros\;terminos:}
{y}_{2}\eq ={y}_{1}+{y}_{0}\eq =3+0\eq =3
{y}_{3}\eq ={y}_{2}+{y}_{1}\eq =3+3\eq =6
{y}_{4}\eq ={y}_{3}+{y}_{2}\eq =6+3\eq =9
{y}_{5}\eq ={y}_{4}+{y}_{3}\eq =9+6\eq =15
{y}_{6}\eq ={y}_{5}+{y}_{4}\eq =15+9\eq =24
\textrm{Algun\;patron?\;Veamos\;la\;factorizacion\;de\;los\;terminos:}
{y}_{2}\eq =3\eq =3\cdot1
{y}_{3}\eq =6\eq =3\cdot2
{y}_{4}\eq =9\eq =3\cdot3
{y}_{5}\eq =15\eq =3\cdot5
{y}_{6}\eq =24\eq =3\cdot8
\textrm{Quienes\;son\;los\;numeros\;1,\;2,\;3,\;5,\;8?}
\textrm{Recordando\;la\;sucesion\;de\;fibonacci:}
{F}_{0}\eq =0
{F}_{1}\eq =1
{F}_{n}\eq ={F}_{n-1}+{F}_{n-2}\;\forall\;\textrm{n}\in\mathbb{N}}_{\geq 2}
\textrm{Computando\;sus\;primeros\;valores:}
{F}_{2}\eq ={F}_{1}+{F}_{0}\eq =1+0\eq =1
{F}_{3}\eq ={F}_{2}+{F}_{1}\eq =1+1\eq =2
{F}_{4}\eq ={F}_{3}+{F}_{2}\eq =2+1\eq =3
{F}_{5}\eq ={F}_{4}+{F}_{3}\eq =3+2\eq =5
{F}_{6}\eq ={F}_{5}+{F}_{4}\eq =5+3\eq =8
\textrm{Ahora\;podemos\;pensar\;quienes\;son\;esos\;valores\;y\;conjeturar\;la\;formula\;cerrada:}
{y}_{n}\eq =3\cdot{F}_{n}
\textrm{La\;demostracion\;luego\;es\;inmediata}

Estos son algunos ejemplos que saque de algunos parciales. Pienso poner más. Espero que les sirvan.



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 20 May 2008, 00:34 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Mira vos, nunca los habia visto esos... viste lo de la formula cerrada de la sumatoria del factorial que postie?


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 20 May 2008, 00:46 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Si, vi la fórmula; aparecía e, números complejos y la función gamma...
Era una locura esa expresión. Menos mal que avisaste



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 22 May 2008, 17:06 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Ahora voy a continuar con 1ejemplo más; es un ejercicio que tomaron en un final de álgebra. Acá propongo otra estrategia.

EJEMPLO4: factorización y subsucesiones.
A veces el término general parece comportarse caóticamente. Sin embargo, a veces el comportamiento del mismo se ve mejor en alguna subsucesión dada, como los pares, impares, múltiplos de k, etc...

\textrm{Sea\;la\;sucesion}\;\;{({a}_{n})_{n\geq0}}
{a}_{0}\eq=-1,\;\;\;{a}_{n}\eq=2\cdot{a}_{n-1}+{2}^{n},\;\forall\;n\in\mathbb{N}
\textrm{Hallar\;una\;formula\;cerrada\;y\;probarla}

\textrm{Computemos\;los\;primeros\;ocho\;valores:}
{a}_{1}\eq=2\cdot{a}_{0}+{2}^{1}\eq=2\cdot(-1)+2\eq=0
{a}_{2}\eq=2\cdot{a}_{1}+{2}^{2}\eq=2\cdot0+4\eq=4
{a}_{3}\eq=2\cdot{a}_{2}+{2}^{3}\eq=2\cdot4+8\eq=16
{a}_{4}\eq=2\cdot{a}_{3}+{2}^{4}\eq=2\cdot16+16\eq=48
{a}_{5}\eq=2\cdot{a}_{4}+{2}^{5}\eq=2\cdot48+32\eq=128
{a}_{6}\eq=2\cdot{a}_{5}+{2}^{6}\eq=2\cdot128+64\eq=320
{a}_{7}\eq=2\cdot{a}_{6}+{2}^{7}\eq=2\cdot320+128\eq=768
{a}_{8}\eq=2\cdot{a}_{7}+{2}^{8}\eq=2\cdot768+256\eq=1792

\textrm{Para\;visualizar\;el\;patron\;mejor,\;observar\;las\;factorizaciones:}
{a}_{2}\eq=4\eq={2}^{2}
{a}_{3}\eq=16\eq={2}^{4}
{a}_{4}\eq=48\eq={2}^{4}\cdot3
{a}_{5}\eq=128\eq={2}^{7}
{a}_{6}\eq=320\eq={2}^{6}\cdot5
{a}_{7}\eq=768\eq={2}^{8}\cdot3
{a}_{8}\eq=1792\eq={2}^{8}\cdot7
\textrm{Observar\;los\;terminos\;pares\;4,\;6,\;8.\;Quienes\;son\;los\;numeros\;3,\;5\;7\;que\;aparecen\;multiplicando\?}
3\eq=4-1
5\eq=6-1
7\eq=8-1
\textrm{Si\;ahora\;escribimos:}
{a}_{0}\eq=(-1)\eq={2}^{0}\cdot(-1)
\textrm{Parece\;razonable\;conjeturar\;para\;los\;terminos\;pares:}
{a}_{n}\eq={2}^{n}\cdot(n-1)
\textrm{Finalmente,\;comprobar\;que:}
{a}_{3}\eq=16\eq={2}^{3}\cdot(3-1)
{a}_{5}\eq=128\eq={2}^{5}\cdot(5-1)
{a}_{7}\eq=768\eq={2}^{7}\cdot(7-1)
\textrm{Probemos\;por\;induccion\;la\;formula:}
\textrm{Vale\;para\;}\;{a}_{0}\eq=(-1)\eq={2}^{0}\cdot(-1)\eq=1\cdot(-1)\eq=(-1)
\textrm{Vale}\;{a}_{n}\eq={2}^{n}\cdot(n-1)\Rightarrow{a}_{n+1}\eq={2}^{n+1}\cdotn
{a}_{n+1}\eq=2\cdot{a}_{n}+{2}^{n+1}\eq=2\cdot{2}^{n}\cdot(n-1)+{2}^{n+1}\eq={2}^{n+1}\cdot(n-1)+{2}^{n+1}\eq={2}^{n+1}\cdot(n-1+1)\eq={2}^{n+1}\cdotn
\textrm{Que\;era\;lo\;que\;queria\;probar.\;Luego\;vale}\;\forall\;n\in\mathbb{N}_{0}

Noten que fue práctico evaluar más valores de la sucesión. En realidad, pudo haberse predecido el patrón mucho antes, pero cuando el crecimiento de la sucesión no es tan rápido(si bien es exponencial en este caso, pero de base 2), a veces a uno lo ayuda mucho ver más términos. Finalmente, se usó la factorización por primos de nuevo, y el hecho que se ''veía más'' lo que pasaba en los impares. Por eso es bueno a veces separar lo valores que se obtienen.
Espero que les haya servido.



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 24 May 2008, 16:07 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Bueno, aca vienen dos ejemplos más. El primero utiliza la idea de las ''sumas telescópicas''. El segundo se resuelve... bueno, más adelante.

EJEMPLO5: uso de la ''suma telescópica''
\textrm{Sea}\;{({b}_{n})}_{n},\;{({a}_{n})}_{n}.\;\textrm{Si\;vale:}
{b}_{n}\eq={a}_{n+1}-{a}_{n}\forall\;n\in\mathbb{N}
\textrm{Entonces\;vale:}
\sum_{i\eq=1}^{n}{b}_{i}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}{a}_{i+1}-{a}_{i}\eq={a}_{n+1}-{a}_{1}\forall\;n\in\mathbb{N}

Probar este enunciado no es muy difícil; hacer inducción en n y listo. Veamos que esta proposición permite hallar el término general de algunas sucesiones definidas recursivamente:

\textrm{Hallar\;una\;formula\;cerrada\;para:}{({c}_{n})}_{n}
{c}_{1}\eq=5,\;{c}_{n+1}\eq={c}_{n}+3\cdot\;n\;\;\forall\;n\in\mathbb{N}_{\geq2}
\textrm{Computemos\;los\;primeros\;valores:}
{c}_{2}\eq={c}_{1}+3\cdot2\eq=5+3\cdot2\eq=11
{c}_{3}\eq={c}_{2}+3\cdot3\eq=11+3\cdot3\eq=20
{c}_{4}\eq={c}_{3}+3\cdot4\eq=20+3\cdot4\eq=32
{c}_{5}\eq={c}_{4}+3\cdot5\eq=32+3\cdot5\eq=47
\textrm{Tal\;vez\;a\;ojo\;no\;se\;ve\;una\;formula\;cerrada,\;pero\;volvamos\;a\;la\;expresion\;inicial:}
{c}_{n+1}\eq={c}_{n}+3\cdot\;n\Leftrightarrow\;{c}_{n+1}-{c}_{n}\eq=3\cdot\;n
\textrm{Si\;sumamos\;hasta\;el\;termino\;enesimo\;de\;c,\;obtenemos:}
\sum_{i\eq=1}^{n}{c}_{i+1}-{c}_{i}\eq={c}_{n+1}-{c}_{1}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}3\cdot\;i\;\eq=3\cdot\sum_{i\eq=1}^{n}i\eq=3\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2}
{c}_{n+1}\eq={c}_{1}+3\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2}
\textrm{Como\;quiero\;que\;valga\;para\;todo\;n,\;hago:}
{c}_{n}\eq={c}_{1}+3\cdot\frac{(n-1)\cdot\;n}{2}
\textrm{Observen\;que\;seguro\;vale\;para\;n}\eq=1
\textrm{Luego\;solo\;basta\;probar\;el\;paso\;inductivo,\;que\;no\;es\;muy\;dificil}

Esto finaliza el ejemplo ejemplo5. Ahora, voy a poner el ejemplo6, cuya resolución voy a postear un poco más adelante. Por favor, aquellos que lo lean, traten de sacar un término general para ver que es lo que pasa, y si lo resuelven y quieren, postéenlo. Ahora lo dejo enunciado:

EJEMPLO6:

\textrm{Hallar\;el\;termino\;general}\;{p}_{n},\;\textrm{si}
{p}_{0}\eq=1,\;{p}_{n+1}\eq=5\cdot{{p}_{n}}^{3}-3\cdot\;{p}_{n}

El término general debe valer para todo n, incluido el término ''0''. Fíjense qué pasa, cuando evalúan los primeros valores... y traten de conjeturar una fórmula cerrada.


Última edición por exequiel131719 el 24 May 2008, 22:01, editado 1 vez en total


_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 24 May 2008, 17:49 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Intente un buen rato, pero no pude sacarlo, ahora sigo intentando, pero antes, un detalle nomas.. en la definicion de {({C}_{n})}_{n} te falto multiplicar al 3 por n.


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 24 May 2008, 22:03 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Ahí lo arreglé. Gracias. No te preocupes si cuesta hallar el término... seguí intentando, pero te aviso que no es fácil



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 25 May 2008, 15:04 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Mmmmmmmmmm...
Seguro q esta bien copiado el problema?
Porq ante la frustracion de no poder sacarlo (y aparte porq consegui este re programa =D ), decidi mandar al programa a resolver el problema y su respuesta fue :

{P}_{n} = -\frac{2 \text{Cos}\left[3^n \text{ArcCos}\left[-\frac{\sqrt{5}}{2}\right]\right]}{\sqrt{5}}

y si le ponia como condicion P(1) = 2 (aparte del P(0) = 1 del problema), me tiraba que no habia soluciones.
Chequie el programa con otras recursiones que posteaste mas arriba y las resolvio perfectamente.. Nose, por ahi me equivooc en la forma de usar el programa, igual fijate si esta todo bien el enunciado
nos vemo!


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 25 May 2008, 15:42 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Mirá bien la fórmula que pusite, porque no está definido el \arccos({-\frac{\sqrt5}{2}){(el módulo es mayor que 1). En cuanto al término general... te aviso que no es casual la aparición del \frac{\sqrt5}{2} ni tampoco es casual el {3}^{n}. Y lo chequé, y está bien copiado. Fijate eso de la fórmula(y fijate esos números que aparecen que no son casuales... de hecho, diste una pista MUY IMPORTANTE de como es el término general.)



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 25 May 2008, 16:21 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Si, habia notado el problema con el ArcCos, por eso el programa lo dejo expresado asi... buen, sigo intentando entonces, si me decis q esta bien =)


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 26 May 2008, 10:46 
Casi 1er Licenciado
Avatar de Usuario

Registrado: 23 May 2008, 10:26
Mensajes: 394
Comentario medio descolgado: El Arccos se generaliza a una función compleja. En los complejos, el coseno es sobreyectivo (:O), es decir, toma cualquier valor complejo que les guste (ejercicio 2# de la práctica 1 de complejo...), así que ese arccos tiene sentido como número imaginario.


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 26 May 2008, 18:01 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Gracias por el dato.
Entonces la expresión de Nico podría tener sentido... pero habría que probar por inducción que vale, y no lo veo tan agradable(ahora viendo la aparición de complejos), conociendo sobretodo el término general.



_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 26 May 2008, 19:07 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
jajaja yo me quede re colgado, me mintieron toda la vida diciendome que el seno y el coseno iban de -1 a 1 !


Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 31 May 2008, 01:37 
Site Admin
Avatar de Usuario

Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Acá pongo la resolución del ejercicio planteado. Pongo nuevamente el enunciado, y lo resuelvo(no eleven exponencialmente sus insultos al ver la resolución...)
\textrm{Hallar\;el\;termino\;general}\;{p}_{n},\;\textrm{si:}
{p}_{0}\eq=1,\;{p}_{n+1}\eq=5\cdot{{p}_{n}}^{3}-3\cdot{p}_{n}
Resolución
\textrm{Computemos\;algunos\;valores:}
{p}_{1}\eq=5\cdot{{p}_{0}}^{3}-3\cdot{p}^{0}\eq=5\cdot{1}^{3}-3\cdot1\eq=2
{p}_{2}\eq=5\cdot{{p}_{1}}^{3}-3\cdot{p}^{1}\eq=5\cdot{2}^{3}-3\cdot2\eq=34
{p}_{3}\eq=5\cdot{{p}_{2}}^{3}-3\cdot{p}^{2}\eq=5\cdot{34}^{3}-3\cdot34\eq=196418
\textrm{Mas\;no\;podemos\;calcular,\;o\;mejor\;dicho,\;no\;nos\;sera\;util}
\textrm{Sin\;embargo,\;puede\;observarse\;un\;patron}
\textrm{Mirando\;los\;numeros\;1,\;2,\;34,\;creemos\;haberlos\;visto.Quienes\;son?}
\textrm{Recordemos\;la\;sucesion\;de\;Fibonacci:}
{F}_{0}\eq=0,\;{F}_{1}\eq=1,\;{F}_{n+1}\eq={F}_{n}+{F}_{n-1}\forall\;n\geq2
\textrm{Computemos\;los\;primeros\;nueve\;valores:}
{F}_{2}\eq={F}_{1}+{F}_{0}\eq=0+1\eq=1
{F}_{3}\eq={F}_{2}+{F}_{1}\eq=1+1\eq=2
{F}_{4}\eq={F}_{3}+{F}_{2}\eq=2+1\eq=3
{F}_{5}\eq={F}_{4}+{F}_{3}\eq=3+2\eq=5
{F}_{6}\eq={F}_{5}+{F}_{4}\eq=5+3\eq=8
{F}_{7}\eq={F}_{6}+{F}_{5}\eq=8+5\eq=13
{F}_{8}\eq={F}_{7}+{F}_{6}\eq=13+8\eq=21
{F}_{9}\eq={F}_{8}+{F}_{7}\eq=21+13\eq=34
\textrm{Si\;se\;quiere,\;podria\;calcularse}\;{F}_{27}\eq=196418
\textrm{Observen\;que\;1,\;2\;34,\;196418\;coinciden\;con\;los\;terminos\;1,\;3,\;9,\;y27\;de\;la\;sucesion\;de\;Fibonacci}
\textrm{Podemos\;conjeturar,\;ahora:}
{p}_{n}\eq={F}_{{3}^{n}},\;n\geq0
\textrm{Ya\;se\;observo}\;{p}_{0}\eq={F}_{{3}^{0}}\eq={F}_{1}\eq=1
\textrm{Comprobemos\;el\;paso\;inductivo.\;Para,\;recordemos:}
{F}_{n}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({(\frac{1+\sqrt5}{2})}^{n}-{(\frac{1-\sqrt5}{2})}^{n})
\textrm{Llamemos:}\frac{1+\sqrt5}{2}}\eq={\theta}_{1},\;\frac{1-\sqrt5}{2}\eq={\theta}_{2}
{F}_{n}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{n}-{{\theta}_{2}}^{n})
\textrm{En\;particular:}
{F}_{{3}^{n}}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n})
\textrm{Noten\;que:}\;{\theta}_{1}\cdot{\theta}_{2}\eq=-1
\textrm{Luego,\;al\;paso\;inductivo:}
{p}_{n+1}\eq=5\cdot{{F}_{{3}^{n}}^{3}-3\cdot{F}_{{3}^{n}}\eq={F}_{{3}^{n}}\cdot(5\cdot{{F}_{{3}^{n}}^{2}-3)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})\cdot(5\cdot(\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})^{2}\;-3)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})\cdot({{\theta}_{1}}^{2\cdot{3}^{n}}-2{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}}+{{\theta}_{2}}^{2\cdot{3}^{n}}-3)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})\cdot({{\theta}_{1}}^{2\cdot{3}^{n}}-2{({\theta}_{1}}{\theta}_{2})}^{{3}^{n}}+{{\theta}_{2}}^{2\cdot{3}^{n}}-3)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})\cdot({{\theta}_{1}}^{2\cdot{3}^{n}}+2+{{\theta}_{2}}^{2\cdot{3}^{n}}-3)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})\cdot({{\theta}_{1}}^{2\cdot{3}^{n}}+{{\theta}_{2}}^{2\cdot{3}^{n}}-1)
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n+1}}+{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}{{\theta}_{2}}^{2\cdot{3}^{n}}-{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{1}}^{2\cdot{3}^{n}}{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n+1}}+{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n+1}}+{({{\theta}_{1}}{{\theta}_{2}})}^{{3}^{n}}{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}}}-{({{\theta}_{1}}{{\theta}_{2}})}^{{3}^{n}}{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n+1}}+{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n+1}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}}}+{{\theta}_{1}}^{{3}^{n}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n+1}}+{{\theta}_{2}}^{{3}^{n}})
{p}_{n+1}\eq=\frac{1}{\sqrt5}\cdot({{\theta}_{1}}^{{3}^{n+1}}-{{\theta}_{2}}^{{3}^{n+1}})\eq={F}_{{3}^{n+1}}
\textrm{Luego,\;llegamos\;a\;lo\;que\;deseabamos\;probar}\;\Box


Espero que los haya convencido la demostración, que no era muy complicada, solo era difícil escribirlo. Saludos


Última edición por exequiel131719 el 31 May 2008, 17:16, editado 1 vez en total


_________________
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Desconectado
 Perfil  
 
 Asunto: Re: Cálculo del término general...
NotaPublicado: 31 May 2008, 12:53 
insert rank here!
Avatar de Usuario

Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
(($%&$%&$)!)! (factorize mis insultos al no poderlos exponenciarlos)
jajaja jamas hubiera caido en que era parte de la sucesion de Fibonacci..
Ya se me va a ocurrir una de estas bien bien complicada.....

Editado por: Nico?
Aqui esta mi venganza, de apariencia simple...pero..... :twisted: :twisted:

A_{1} = 0 A_{n} = \sqrt{2 + A_{n-1}}

Hubiera estado genial que se me haya ocurrido a mi, pero la encontre navegando por ahi antes de ponerme a pensar en una, y me llamo la atencion toda la maldad que contiene la siniestra recursion... ojo, no vimos algo ni parecido en clase, asi que no se si se puede encarar... igual, la dejo, suerte !


Desconectado
 Perfil  
 
Mostrar mensajes previos:  Ordenar por  
 Página 1 de 1 [ 15 mensajes ] 

Todos los horarios son UTC - 3 horas


¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado


No puede abrir nuevos temas en este Foro
No puede responder a temas en este Foro
No puede editar sus mensajes en este Foro
No puede borrar sus mensajes en este Foro
No puede enviar adjuntos en este Foro

Buscar:
Saltar a:  

cron