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 Asunto: TODAS (o casi todas) LAS PROPIEDADES DE ALGEBRA
NotaPublicado: 11 Sep 2008, 03:59 
Ayudante de Primera
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Registrado: 16 May 2008, 23:00
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BUENO ,aca subo mi apunte de Algebra con todas las propiedades,o casi todas,si falta alguna sepan disculpar,pero por lo menos este es el apunte que yo hice para mí mismo y que me acompañó durante toda la etapa de finales, igual obviamente sirve para la etapa de parciales porq tiene lo de toda la materia...

Espero que sirva,se entienda y no aburra :mrgreen:

\large Conjuntos:

.Sea A un conjunto, P(A) es otro conjunto cuyos elementos son todos los subconjunos de A. Ej: A={1,2}
P(A)={\varnothing,{1,2},{1},{2}}

.La cantidad de elementos de un P(A) es 2^n, donde n es la cantidad de elementos del conjunto A original. (tambien es \sum_{i=0}^{n}\left(\begin{matrix}n \\ i\end{matrix}\right)= 2^n)

.A,B dos conjuntos., una relación R es un subconjunto de AxB.

\large Relaciones:

.Definimos que R\subseteq AxA como \small Relacion de Equivalencia si:

\forall a\in A, a~a (Reflexiva)
\forall a,b\in A, a~b \Rightarrow b~a (Simétrica)
\forall a,b,c\in A a~b \land b~c \Rightarrow a~c (Transitiva)

.Definimos que R\subseteq AxA como \small Relacion de Orden si:

\forall a\in A, a~a (Reflexiva)
Si a~b \landb~a\Rightarrow a=b (Antisimétrica)
\forall a,b,c\in A a~b \land b~c \Rightarrow a~c (Transitiva)

.Decimos que R es Arreflexiva si \forall a\in A , (a,a)\notin R

.Llamamos clase de a a: \over{A}:{x\in A/x~a}
entonces si b~a \Rightarrowb\in \over{A}

.Decimos que R es una \small Relacion de orden estricta si R es arreflexiva y transitiva

.Una Partición de un conjunto A está dada por subconjuntos no vacíos de A, 2 a 2 disjuntos, cuya unión dá A.
Ej: A={1,2,3,4,5,6} P=\{1,2,3}\}\cup\{4}\}\cup\{5,6}\}

.Es = dar una Partición que dar una Relación de Equivalencia en A

.Para todo conjunto hay AL MENOS 2 clases de equivalencia.

.Dados A y una relación de equivalencia R, se llama Conjunto de Representantes a la elección de un elemento en cada clase de equivalencia.


\large Funciones:

Sea una funcion A-->B

. Función Suryectiva: una función es Suryectiva si \forall b\in B, \exists a\in A tal que f(a)= b (si todo elemento de B es imágen de alguien)

. Función Inyectiva: una función es Inyectiva si dados a1,a2\in A,a1\neq a2 \Rightarrow f(a)\neq f(b)

. Función Biyectiva: una función es biyectiva si cumple que es Inyectiva y Suryectiva. Y si una función es biyectiva, es posible definirf^{-1} (la función inversa de f)

. Funciones de {1...n},{1...m} son m^n funciones \neq porque son n elecciones independientes de m elementos
. Funciones biyectivas de un conjunto con n elementos , son n!


\large Sumatorias:

.\sum_{i=0}^{n}a^i = \frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}

.Suma de los primeros n impares: \sum_{i=1}^{n}2i - 1

. # Términos en una sumatoria de una sola variable simple (lo pongo con un ejemplo) : \sum_{i=0}^{96}i= (96 -0)+1 = 97

. Suma de todos los naturales: .\sum_{i=0}^{n}i= \frac{n(n+1)}{2}

.a^m - b^m=(a-b).\sum_{i=1}^{m}a^{i-1} . b^{m-i}

.Suma de divisores positivos de un número: ejemplo: La suma de los divisores positivos de 10^{10}=
\sum_{i,j=0}^{10}2^i. 5^j = \sum_{j=0}^{10}(\sum_{j=0}^{10}2^i.5^j)= \sum_{j=0}^{10}5^j . \sum_{i=0}^{10}2^i = \frac{5^{11}-1}{5-1} . \frac{2^{11}-1}{2-1}


\large Combinatoria:

.Combinatorio (no importa el órden) \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right) = \frac{n!}{k! (n-k)!}

.\left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}n \\ n-k\end{matrix}\right)

.\left(\begin{matrix}k \\ i\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix}k \\ i-1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}k+1 \\ i\end{matrix}\right)

.Variaciones (importa el órden) = \frac{n!}{(n-k)!}

.#{subconjuntos de k elementos en un conjunto de n elementos} = \left(\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right)

. Bosones: \left(\begin{matrix}k+n-1 \\ k\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}k+n-1 \\ n-1\end{matrix}\right) k= número de bolitas n= número de cajas

. Coeficiente multinomial: C(n,n1,n2,...nk)= \left(\begin{matrix}n \\ n1...nk\end{matrix}\right) = \frac{n!}{n1!...nk!}

\large Probabilidad:

\frac{Casos favorables}{Casos Totales}

\large Enteros:

.a,c\neq 0 c/a,a/b \Rightarrow c/b (Transitividad)

.a,b\neq 0 a/b,b/a \Rightarrow |a|=|b|

.a/a \forall a\in\mathbb{Z}

. c/a,c/b \Rightarrow c/a+b  , c/a-b___(c\neq 0; a,b,c\in\mathbb{Z})

. c/a,c/b \Rightarrow c/s.a+t.b(\forall s,t\in\mathbb{Z})

.c\neq 0 c/a+b,c/b \Rightarrow c/a

.c,c'\neq 0 c/a,c'/a' \Rightarrow c.c'/a.a'

.c\neq 0 c/a \Longleftrightarrow c^n/a^n , c/a^n

.\forall a,b\in\mathbb{Z} , a\neq b y \forall n\in\mathbb{N} a-b/a^n - b^n

.a.b/c \Rightarrow a/c \land b/c

.Todo a\in\mathbb{Z}; a\neq 0 tiene al menos 2 divisores (1 y -1)

.p\in\mathbb{Z} se dice primo si tiene exactmente 4 divisores \Rightarrow p\neq 0,1,-1

.Si 2\leq |a|; a\in\mathbb{Z} \Rightarrow \exists p\in\mathbb{Z} primo positivo tq p/a

.Si a es compuesto \Rightarrow \forall a\neq 0,1,-1  \exists pprimo tal que p/a ; p^2\leq |a|

.\forall a,b,c\in\mathbb{Z} , b\neq 0, \exists ! q,r\in\mathbb{Z} tales que a=b.q+r
con 0\leq r\leq |b|

.b/a-r si a = b.q+r

Propiedades de los restos:

.Ra(b.c)=Ra(Ra(b) . Ra(c))
.Ra(b+c)=(Ra(b)+Ra(c)).Ra

MCDs:

.(a:b)=(b:a)=(-a:b)=(a:-b)=(-a:-b) \forall a,b\in\mathbb{Z} (no ambos 0)

.(a:0)=(0:a)=|a| \forall a\in\mathbb{Z};a\neq 0

.(a:b)=(a+b.k:b) \forall a,b,k\in\mathbb{Z};a,b\neq 0

.Recordar el Algoritmo de Euclides para calcular MCDs

.(a:b)=(Ra(b):b)

\large Coprimos: a,b\in\mathbb{Z} (no ambos 0) tal que (a:b) = 1

. a y b 2 primos \neq  \RightarrowSon coprimos

.a primo = p

\Rightarrow p/b\Leftrightarrow (p:b)= +- p
\Rightarrow p no divide a b \Leftrightarrow Los únicos divisores comunes son +-1\Leftrightarrow (p:b)=1

.(a:b) = 1,\forall c\in\mathbb{Z}; a/b.c \Rightarrow a/c

.(a:b) = 1 \forall c\in\mathbb{Z},b\neq 0 ; a/c,b/c \Leftrightarrow a.b/c

. p primo a,b\in\mathbb{Z} si p/a.b\Rightarrow p/a ó p/b

.a,b\in\mathbb{Z}(no ambos 0),(a:b) = 1 \Leftrightarrow \exists s,t\in\mathbb{Z} tq 1=s.a+t.b

.\forall a,b\in\mathbb{Z}(no ambos 0),a=(a:b).k , b=(a:b).k' \Rightarrow (k:k')= (\frac{a}{(a:b)}:\frac{b}{a:b)}=1

.(a:b)=s.a+t.b \Rightarrow 1= (s. \frac{a}{(a:b)}:t. \frac{b}{(a:b)})

. c>0 ; (c.a:c.b)=c.(a:b)

.(a:b) = 1 y (a:c)=1 \Rightarrow (a:b.c) = 1

.(a:b)=1 \Rightarrow (a^m:b^n) =1=(b^n:a)  \forall n\in\mathbb{N}

.p primo (p:a)=1 \Rightarrow (p:a^n) = 1 \forall n\in\mathbb{N}

. Todo a entero distinto de 0,1 y -1 se puede escribir como producto de primos a potencias.(Teorema fundamental de la aritmética)\prod_{i\eq=1}^{n}{{p}_{i}}^{{v}_{i}}

.p primo p/a^n \Rightarrow p/a

.d/a y d/b \Rightarrow d/(a:b)

MCMs:

. [a:b]=[-a:b]=[a:-b]=[-a:-b]=[b:a]

.a/b \Leftrightarrow[a:b]=|b|

.a/b \Leftrightarrow (a:b)=|a|

.(a:b)=1 \Rightarrow[a:b]=|a|.|b|

.[a:b] . (a:b) = |a|.|b|

.[a:b]=\frac{|a|.|b|}{(a:b)}

\large Congruencias:

.Pequeño Teorema de Fermat: a^p\equiv a(p)

.Teorema de Fermat:si (a:p) = 1 a^{p-1}\equiv1(p)

\large Ecuaciones Diofanticas:

Pongo un ejemplo para que se entienda:

5a+8b = 3 a,b\in\mathbb{Z}

Primero busco una solución particular ({a}_{0},{b}_{0}) "a ojo" o aplicando algoritmo de Euclides.
para este caso usemos 1=2.8 - 3.5 \Rightarrow 3= 6.8 - 9.5

Entonces todas las soluciones serán:
a={a}_{0}+8k
b={b}_{0}-5k

entonces queda: a= -9+8k b= 6-5k k\in\mathbb{Z}
(en este caso uso 8 y 5 pero pueden variar,obviamente)
Nota: a uno de los sumandos se le cambia el signo...en este caso se lo cambié al "5k"
Importante: Los números en los lugares de 5 y 8 deben estar COPRIMIZADOS. Es decir, divididos por todos sus divisores comunes hasta quedar coprimos.



\large Complejos:

. \over{z+w} = \over{z}+\over{w}

.\over{z}.\over{w}=\over{z.w}

.\overline{\overline{z}} = z

.\overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1}

.z.\overline{z}= |z|^2

.z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}

.z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}

.|z.w|= |z|.|w|

.|z+w|\leq |z|+|w|

.|Re(z)|\leq |z| y |Im(z)|\leq |z|

.|z^{-1}|= |z|^{-1}

. ||z|-|w||\leq |z-w|

Gn (Raíces de la Unidad)

.Gn tiene n elementos

.z,w\in Gn \Rightarrow z.w\in Gn

.w\in Gn \Rightarrow w^{-1}\in Gn

.w\in Gn \Rightarrow |w|=1

.w\in Gn \Rightarrow \overline{w}\in Gn

.-1\in Gn \Leftrightarrown es par

.Gn\cap Gm= {G}_{(n:m)}

.Gn\subseteq Gm \Leftrightarrow n/m

.w^k es una raíz enésima primitiva de la unidad si (k:n)=1

. w es primitiva de Gn\Leftrightarrow \overline{w}lo es

.w es primitiva de Gn \Leftrightarrow w\notin Gk con k< n y k/n

.w ess primitiva de Gn si w^k = 1 \Leftrightarrow n/k

.La suma de todas las Gn = 0 (todas las raíces de Gn)

.El producto de todas las raíces de Gn = (-1)^{n-1}



\large Polinomios:

. gr(f.g)= gr(f)+gr(g)

.gr(f+g)\leq máx{gr(f);gr(g)}

.gr(f^n) = n.gr(f)

.Polinomio mónico= {Coeficiente principal=1}

.F(x)= x^n+{b}_{n-1}. x^{n-1}+...+{b}_{1}.x+{b}_{0}

{b}_{n-1} =-Suma de raíces de F(x) (OJO! es MENOS la suma!)

{b}_{n-2}= (-1)^2 . ({\alpha}_{1}.{\alpha}_{2}+{\alpha{_{2}.{\alpha}_{3}+{\alpha}_{3}.{\alpha}_{1}+...)
.
.
{b}_{0}= (-1)^n. ({\alpha}_{1}.{\alpha}_{2}.{\alpha}_{3}...)

.Si gr(f)\neq gr(g) \Rightarrow gr(f+g)= \max{gr(f);gr(g)}

.En (f(x): f'(x)) aparecen exactamente las raíces con multiplicidad mayor que 1 de f(x)

.Para obtener un polinomio con las mismas raíces que f(x) (que tiene alguna múltiple) pero todas simples:\frac{f(x)}{(f(x):f'(x)})

.Los polinomios irreducibles en \mathbb{C} son los de grado 1.

.Los polinomios irreducibles en \mathbb{R} son de grado 1 ó 2

.Si f(x)\in\mathbb{Z}[x] definimos contendio de f: f(x)={a}_{n} x^n+{a}_{n-1} x^{n-1}...{a}_{0}
cont f(x)=({a}_{n}:{a}_{n-1}:...:{a}_{0})

.Decimos que f es primitivo si f(x)=1

.Cont{g(x) . f(x)} = cont f(x). cont f(x)

.Si tengo un polinomio de coeficientes enteros de grado n,puedo hallar los divisores del término{a}_{0} y los de {a}_{n} llamándolos p y q respectivamente,entonces si el polinomio tiene alguna raíz real,esta será alguna de las que obtengo haciendo p/q (tomando ambos, valores positivos y negativos para cada uno de los divisores)

\huge FIN



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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
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 Asunto: Re: TODAS (o casi todas) LAS PROPIEDADES DE ALGEBRA
NotaPublicado: 11 Sep 2008, 13:18 
insert rank here!
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Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Grossooooooooooooo !
Te pasaste eh ?
Esto seguro q ayuda a mas de uno


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 Asunto: Re: TODAS (o casi todas) LAS PROPIEDADES DE ALGEBRA
NotaPublicado: 12 Sep 2008, 00:19 
Profesor
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Registrado: 16 May 2008, 22:21
Mensajes: 194
Ubicación: Pilar, Bs. As.
Lindo aporte, creo que viene muy bien.
Me acuerdo de las hojas que tenías con todo eso, jaja

Dejo un algunos más:

\cdot \quad 2^{n} - 1 \; \texrm{primo} \; \Longrightarrow n \; \texrm{es\;primo} .

\cdot \quad 2^{n} + 1 \; \texrm{primo} \; \Longrightarrow n \; \texrm{es\;potencia\;de\;dos} .

-El más lindo :P :

Teorema\; de\; Fermat\; - \; Euler :
Sean a\in \mathbb{Z} , n\in \mathbb{N} \; , \; n\geq 2 \; , \; \varphi (n) = \%23 \{ i\in \mathbb{N} \; , \; 1\leq i \leq n \; : \; (i:n)=1 \} , entonces:

(a:n)=1 \; \Longrightarrow \; a^{\varphi(n)} \equiv 1 (n) .

Saludos.



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Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box
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 Asunto: Re: TODAS (o casi todas) LAS PROPIEDADES DE ALGEBRA
NotaPublicado: 12 Sep 2008, 00:52 
Ayudante de Primera
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Registrado: 16 May 2008, 23:00
Mensajes: 167
Me olvidé del de Fermat Euler! (no estaba en el apunte mio,tampoco estaban las diofánticas,pero pensaba agregarlo y me olvidé) jaja,bueno aca va una propiedad para ese teorema

si el módulo se puede escribir como potencia de un primo entonces:

por ejemplo 8=2^3 \Rightarrow \varphi (8)= 2^{3-1} . (2-1) = 4

Pueden chekear que 8 tiene 4 numeros coprimos positivos y menores (1,3,5 y 7)


osea siempre se pone el primo elevado a la potencia menos 1 y se lo multiplica por el primo menos 1.

Espero q sirva :mrgreen:



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 Asunto: Re: TODAS (o casi todas) LAS PROPIEDADES DE ALGEBRA
NotaPublicado: 12 Sep 2008, 10:32 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Ademas si m y n son coprimos\phi (m n) = \phi (m) \phi (n)
Asi que por ejemplo \phi(24)=\phi(8) \phi (3)= 4\times 2 =8



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Quimey
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