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 Asunto: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 01:07 
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Registrado: 17 May 2008, 23:04
Mensajes: 812
Bueno, la idea es hacer un resumen con las propiedades indispensables a la hora de encarar un problema que tenga números complejos. Si creen que hace falta agregar propiedades, solo postéenlo(solo he obviado la definición de la suma y producto de números complejos)

\mathbb{C}, denota al conjunto de los números complejos. Los números complejos se representan usualmente en forma binómica; sea z\in\mathbb{C}, su forma binómica es z\eq=a+bi,\;a,b\in\mathbb{R}.
La parte real y la parte imaginaria de z se denotan respectivamente Re(z),\;Im(z). En el ejemplo anterior, Re(z)\eq=a,\;Im(z)\eq=b. También suelen notarse \Re(z)\eq=a,\;\Im(z)\eq=b
A la hora de representar geométricamente los complejos, puede pensárselos como vectores en \mathbb{R}^{2}, siendo el eje ''x'', el eje real y el eje ''y'', eje imaginario.
-PROPIEDAD: {i}^{2}\eq=-1.
DEFINICIÓN 1: se define el módulo de un número complejo
z\eq=a+bi, como |z|\eq=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}
DEFINICIÓN 2: sea z\eq=a+bi, se define el conjugado de z, y se nota \overline {z}, al número complejo:

\overline {z}\eq=\overline {a+bi}\eq=a+(-b)i.

PROPIEDADES: Sean z,w\in\mathbb{C},

-\overline{z+w}\eq=\overline{z}+\overline{w}. Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:

\overline{\sum_{j\eq=1}^{n}{z}_{j}}\eq=\sum_{j\eq=1}^{n}\overline{{z}_{j}}

-\overline{z\cdot w}\eq=\overline{z} \cdot \overline{w}. Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:

\overline{\prod_{j\eq=1}^{n}{z}_{j}}\eq=\prod_{j\eq=1}^{n}\overline{{z}_{j}}. Un corolario inmediato es \overline{{z}^{n}}\eq={\overline{z}}^{n}

-\overline{\overline{z}}\eq=z

-z\eq=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}. Análogamente, z\eq=-\overline{z}\Leftrightarrow z\;es\;un\;imaginario\;puro. Un imaginario puro tiene Re(z)\eq=0,\;Im(z)\neq 0

-z\cdot \overline{z}\eq={|z|}^{2}. De esta propiedad, se define el inverso multiplicativo en \mathbb{C}-\{0\}:
{z}^{-1}\eq=\frac{\overline{z}}{{|z|}^{2}}

-\overline{{z}^{-1}}\eq={\overline{z}}^{--1},\;z\neq 0

-|z\cdot w|\eq=|z|\cdot |w|. Se deduce |{z}^{-1}|\eq={|z|}^{-1},\;z\neq 0
-|z+w|\leq |z|+|w|
-||z|-|w||\leq |z-w|
-|Re(z)|\leq |z|,\;|Im(z)|\leq |z|

Los números complejos, salvo el 0\in\mathbb{C}, se expresan de forma única z\eq=|z|(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z))),\;0\leq\arg(z)< 2\pi. esta expresión se llama expresión trigonométrica
del número complejo(también expresión en coordenadas polares). Si z\eq=a+bi,\;\cos(arg(z))\eq=\frac{a}{|z|},\;\sin(\arg(z))\eq=\frac{b}{|z|}

TEOREMA DE MOIVRE: sean z,w\in\mathbb{C},se cumple:
z\cdot w\eq=|z\cdot w|(\cos(\arg(z)+\arg(w))+i\sin(\arg(z)+\arg(w))).

PROPIEDADES DEL ARGUMENTO: sea z\in\mathbb{C}-\{ 0\}. Sea \sim la relación de equivalencia sobre \mathbb{R} definida a\sim b\Leftrightarrow a-b\eq=2\pi k,\mathbb{Z} (es decir, difieren en una cantidad entera de vueltas). Se verifica:
-\arg(z)\eq=0\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}_{>0}
-\arg(z)\eq=\pi\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}_{<0}
-\arg({z}^{n})\eq=n\arg(z)
-\arg(\overline{z})\sim -\arg(z)
-\arg({z}^{-1})\sim -\arg(z)
-\arg(-z)\sim \arg(z)+\pi

Se define {G}_{n}\eq= \{ z\in \mathbb{C}:{z}^{n}\eq=1 \}, el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad. Valen las siguientes propiedades:
-|{G}_{n}|\eq=n, es decir, tiene exactamente n elementos.
-z,w\in {G}_{n}\Rightarrow z\cdot w\in {G}_{n}
-z\in {G}_{n}\Leftrightarrow \overline{z}\in {G}_{n}
-z\in {G}_{n}\Leftrightarrow {z}^{-1}\in {G}_{n}
-z\in {G}_{n}\Rightarrow |z|\eq=1
--1\in {G}_{n}\Leftrightarrow n\;es\;par
-z\in {G}_{n}\Rightarrow \overline{z}\eq={z}^{n-1}. En general, \overline{{z}^{j}}\eq={z}^{n-j},0\leq\;j\leq n
-z\eq=(\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n})),\;0\leq k\leq n-1,\;k\in\mathbb{N}
-{G}_{n} \cap {G}_{m}\eq={G}_{(n:m)}
-{G}_{n}\subset {G}_{m}\Leftrightarrow n|m
-z,w\in{G}_{n}\Rightarrow\overline{z}+\overline{w}\eq=\overline{z\cdot w}(z+w)

DEFINICIÓN: Sea w\in {G}_{n}. w es una raíz enésima primitiva de la unidad si y sólo si satisface {w}^{r}\neq 1,\forall 1\leq r\leq n-1.
PROPIEDADES:({{G}_{n}}^{\ast} denota conjunto de las raíces enésimas primitivas de la unidad)
-w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow \forall z\in{G}_{n},\;existe\;r\in\mathbb{N}\;tal\;que\;z\eq={w}^{r}. Es decir, todo elemento de {G}_{n} es potencia de una raíz primitiva
-w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow \overline{w}\in {{G}_{n}}^{\ast}
-w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow w\eq=\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n})),\;(n:k)\eq=1
-w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow w\;no\;pertenece\;a\;{G}_{k},\forall k|n,\;k\neq n.

-\sum_{w\in{G}_{n}}w\eq=0, es decir, la suma de las raíces enésimas de la unidad es 1

-\prod_{w\in{G}_{n}}w\eq={(-1)}^{n-1}, es decir, el producto de las raíces enésimas de la unidad es 1 o -1, según n

Estas son todas las propiedades que encontré útiles para resolver ejercicios. Si quieren que agrege más, o complete, posteen con la sugerencia. Además, si quieren que escriba la forma exponencial de los números complejos, también indiquen. Espero haber ayudado, aclarado y no haber cometido errores. Saludos.


Última edición por exequiel131719 el 10 Jul 2008, 13:31, editado 2 veces en total


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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 02:49 
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Registrado: 09 May 2008, 16:53
Mensajes: 273
Ubicación: José León Suárez :)
Te sarpaste con el topic! te fuiste al carajo! Sos un grosso!
Se agradece Mil



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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 08:17 
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Registrado: 13 May 2008, 23:34
Mensajes: 376
Ubicación: 45 07 23.73N 123 06 49.91W
Si, muy grossso, es mas prolijo que el que hice yo para Conjuntos ! Y tiene todo lo necesario ! Gracias de vuelta por ayudar, y lo copie a la parte de Complejos de los Parciales, asi la gente que necesita ayuda con Complejos, lo primero que va a ver arriba de todo, es el apunte, porq tener las propiedades a mano es lo mejor para empezar a encarar algun ejercicio


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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 11:35 
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Registrado: 16 May 2008, 22:21
Mensajes: 194
Ubicación: Pilar, Bs. As.
Muy bueno Marce, viene bien, la verdad que si, y dale, cuando tengas tiempo agregá la forma exponencial de los números complejos, estaría bueno. Aprovecho a preguntar una vez más, Cuál es el conjugado de cosas como e^{-i}??



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Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box
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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 11:45 
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Registrado: 05 Jul 2008, 14:02
Mensajes: 1166
Si z \in \mathbb{C} podemos definir e^z=e^{Re(z)}(cos(Im(z))+i\ sen(Im(z)))
De aca podes ver inmediatamente las siguientes propiedades:
1. \overlline{e^z}=e^{-z}
2. e^z e^w=e^{z+w}

Ahora podes deducir la conocida formula:
e^{\pi i}+1=0



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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 10 Jul 2008, 11:58 
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Registrado: 16 May 2008, 22:21
Mensajes: 194
Ubicación: Pilar, Bs. As.
Interesante, Gracias!



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 Asunto: Re: Nociones para números complejos
NotaPublicado: 03 Mar 2009, 19:14 
Ayudante de Segunda

Registrado: 07 Dic 2008, 15:39
Mensajes: 91
exequiel131719 escribió:
-|z\cdot w|\eq=|z|\cdot |w|.


Quizás agregaría aquí que, por inducción y usando esa propiedad, se puede demostrar que: |z^n| = |z|^n, \forall n \in \mathbb{N}.


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